Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)

Permanent URI for this collection

https://hdl.handle.net/10889/23

Browse

Now showing 1 - 20 of 121

Open Access
An extended web service composition model with teamwork semantics
Τσούτσα, Παρασκευή; Tsoutsa, Paraskevi
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Web services and service based architectures have created opportunities to establish more flexible collaboration among different domains, such as smart cities, smart factories, resource management, intelligent transportation, health and many other. The aim of research efforts around web services is mainly to facilitate their handling and composition. Service composition constitutes a challenging task of service provisioning as it can produce new composite services with features not present in the individual ones. Also, service composition can serve applications or users on-demand basis, so the ability to efficiently select and integrate heterogeneous services at runtime becomes an important requirement to the Web service provision. This is also due to the fact that, by automatically composing services, their capabilities can be extended at runtime, therefore theoretically an unlimited number of new services can be created from an existing set of components, thus making applications no longer restricted to the original set of operations specified and envisioned at the design time. Initial web service efforts failed to hold the promise for providing generic mechanisms that support discovering, composing, evaluating, executing and monitoring web services in dynamic environments, especially with the issues raised by the development of new technologies such as Cloud Computing, Internet of Things and Cyber Physical Systems. Semantic technologies provide the tools to address various challenges related to the web services technology, particularly those to be performed in the dynamic mode. However, in order to realize this potential, significant hurdles still have to be overcome. To deal with these hurdles, an improvement of the process of service composition becomes necessary, especially a higher degree of autonomy. Following this direction, service composition has to proceed autonomously, which on the one hand side reduce human involvement to a minimum, but on the other side require certain capabilities on the part of the mechanisms that will support it. This research considers the Web service composition problem from the viewpoint of teamwork and addresses the challenge of developing teamwork services, i.e. autonomously composite services capable of exhibiting teamwork behavior. A service capable of exhibiting teamwork behavior is one that can effectively cooperate with multiple potential teammates on a set of collaborative tasks to achieve the overall team goal. Firstly, we lay down the foundations and describe the interaction of services by exploiting the role Model theory. The description of services with roles and behaviors act as mediator between the different Web service languages and a formal description that will enable the reasoning over new paths of collaboration for composition purposes. Then, we benefit from the teamwork theory, which has spanned diverse disciplines from business management to cognitive science, human discourse, and distributed artificial intelligence and contribute by determining the dominant teamwork roles that prevail during service group cooperation. Novel service teamwork roles are developed and the role modeling approach is extended to enable web services to automatically cooperate by enhancing service’s interoperability. These roles aim to (i) enable services to manipulate the uncertainties by being proactive during their participation in specific events, (ii) capture potential emergent behavior that happens in the domain during service design and execution, (iii) arrest and handle any misbehaving of other participants that occurs in the domain, (iv) act as the glue needed to reconfigure and combine services appropriately in dynamic and unpredictable environments. The teamwork role model becomes especially important in dynamic environments since it enables the development of more efficient composite services, which are stable teams of services such that their components-members promote better understanding and are able to cooperate effectively to achieve their objectives. Their teamwork behavior help them to manipulate the uncertainties by enabling proactiveness during their participation and by capturing emergent behavior during the process of composition, in which services may have neither complete nor correct view about their world or other services, that not only have changeable actions and goals but they are also subject to failure from external events.
Open Access
Categories of compact and compactly generated Hausdorff locales over a base topos
(2022-12-28) Τσάμης, Κωνσταντίνος; Tsamis, Konstantinos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
This thesis is focused on the categories of compact Hausdorff locales and of compactly generated (Hausdorff) ones. Our main contributions have to do with the question of whether they share with the categories of the respective classical topological spaces the property of forming, respectively, a pretopos and a regular cartesian closed category. Locales constitute the correct substitute for topological spaces internally in toposes, where points may occur scarcely, as their existence may depend on non-constructive principles like the axiom of choice or the weaker prime ideal theorem for distributive lattices. They appear as duals of structures such as commutative rings, distributive lattices or C-algebras even when these structures lack sufficiently many prime or maximal ideals, they allow us to talk about fundamental structures like the real numbers as spaces which maintain the right properties, where their construction as Dedekind cuts or Cauchy sequence may produce nonisomorphic results in the absence of the axiom of choice. Hence we take care that all our arguments remain valid in the internal logic of a topos, meaning that we avoid using the axiom of choice or the principle of excluded middle with the sole exception of Chapter 3 which explicitly refers to categories of topological spaces. The benefits, from the point of view of classical mathematics, of such an approach are also well-known: The category of locales over a given locale is equivalent to the category of the locales internal to the topos of sheaves on the given locale, hence results about locales that are internally valid in a topos (for example our Corollary 4.2.5 and Proposition 5.1.2 in this thesis) translate to results about continuous maps over the given base. The method for developing a sufficiently rich theory of locales is algebraic. Algebraic structures have been in service of topology in various ways but we will focus on how distributive lattices and in particular frames play this role. The category of locales is by definition the one opposite to the category of frames. The latter allows us to construct categorical colimits in the category of locales (limits in the category of frames) in a simple way as in any category of algebraic structures. The main results of the thesis are presented in the last two chapters of the thesis. They include a proof that the category of compact Hausdorff locales is a pretopos and that the category of compactly generated Hausdorff locales is a regular category, provided that it is coreflective in the category of Hausdorff locales. Under the same hypothesis we show that in this category products commute with colimits, which is a necessary condition for cartesian closedness. We also investigate a possible characterization of the pretopos of compact Hausdorff locales by presenting a comparison functor from a pretopos that satisfies some extra properties to compact Hausdorff locales. This functor is faithful, full on subobjects and exact. In order to define that functor we prove first that closed quotients of compact Hausdorff locales are compact Hausdorff, generalizing the corresponding result for spaces in the localic setting. There are a few more minor results, such as an account of the functorial behaviour of the tensor product of sup-lattices, cast in terms of the concrete description of the tensor product in [24] (Propositions 1.4.1, 1.4.2). There are also new proofs of known results, primarily a proof of the regularity of the category of weakly Hausdorff compactly generated spaces (Section 2.4), and proofs in the theory of locales that use positive formulations of the involved concepts and are valid in the internal logic of a topos, where in the literature we could only find proofs involving negative formulations (for example Proposition 3.3.4). For reasons of unity and self-sufficiency of the text we have included known proofs of most known results exposed in the introductory three first chapters. We have only omitted proofs of results that are too technical and would occupy disproportionally big space in the text.
Open Access
Localization in nonlinear lattices and homoclinic dynamics
(2008-11-27T08:58:59Z) Bergamin, Jeroen Martijn; Μπούντης, Αναστάσιος; Μπούντης, Αναστάσιος; Βραχάτης, Μιχαήλ Ν.; Παπαγεωργίου, Βασίλειος
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
In chapter 3 of this thesis, I discuss in some detail the historical development of energy localization, emphasizing the particular physical concepts which are important for the understanding of this phenomenon. Furthermore, I describe the mathematical concepts of a discrete breather and homoclinic orbits, which are intimately connected between them and constitute the main object of study of this dissertation.
Open Access
Αλγόριθμοι υπολογιστικής νοημοσύνης για αριθμητική βελτιστοποίηση
(2007-06-22T11:51:58Z) Παρσόπουλος, Κωνσταντίνος; Βραχάτης, Μιχαήλ; Λαγαρής, Ισαάκ; Γρουμπός, Πέτρος; Λυκοθανάσης, Σπυρίδων; Κάτσικας, Σωκράτης; Αλεβίζος, Φίλιππος; Μπότσαρης, Χαράλαμπος; Parsopoulos, Konstantinos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Στην διατριβή αυτή εξετάζεται η αποδοτικότητα αλγορίθμων υπολογιστικής νοημοσύνης σε προβλήματα αριθμητικής βελτιστοποίησης, αναπτύσσονται τροποποιήσεις και βελτιώσεις των μεθόδων και εισάγεται ένα νέο σχήμα της μεθόδου Βελτιστοποίησης με Σμήνος Σωματιδίων, το οποίο ενοποιεί διαφορετικές εκδόσεις της συνδυάζοντας τα χαρακτηριστικά τους, μαζί με την θεωρητική ανάλυσή του.
Open Access
Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie
Σταθά, Μαρίνα; Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας; Κοτσιώλης, Αθανάσιος; Τζερμιάς, Παύλος; Βλάχος, Θεόδωρος; Θωμά, Απόστολος; Τσαπόγας, Γεώργιος; Καϊμακάμης, Γεώργιος; Statha, Marina
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) καλείται πολλαπλότητα Einstein εάν ο τανυστής Ricci \Ric_g ης μετρικής g ικανοποιεί την εξήσωση \Ric_g = \lambda g, για κάπιο \lambda\in\mathbb{R}. Στους ομογενείς χώρους Riemann (M=G/H, g), όπου G είναι μια ομάδα Lie και Η μια κλειστή υποομάδα της, η μετρική g καλείται G-αναλλοίωτη εάν για κάθε \alpha\inG οι αριστερές μεταφορές \tau_{\alpha} : G/H \to G/H, p\mapsto\alphap είναι ισομετρίες και καθορίζεται από \Ad(H)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο T_{o}(G/H). Τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται από την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου, η οποία είναι είτε μη αναγώγιμη (όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές είναι Einstein) είτε αναγώγιμη. Η δεύτερη περίπτωση γίνεται πιο πολύπλοκη εάν οι υποαναπαραστάσεις της, είναι μεταξύ τους ισοδύναμες, διότι η πλήρης περιγραφή αλλά και ο χειρισμός τέτοιων γινομένων είναι ερκετά δύσκολος. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν και οι πραγματικές, μιγαδικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel V_k\mathbb{R}^{n} = SO(n)/SO(n-k), V_k\mathbb{C}^{n} = SU(n)/SU(n-k), V_{k}\mathbb{H}^{n} = Sp(n)/Sp(n-k). Στην παρούσα διατριβή μελετάμε μετρικές Einstein στις πραγματικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel G/H, οι οποίες ανήκουν σε ένα υποσύνολο των G-αναλλοίωτων μετρικών. Ειδικότερα η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εξής: Θεωρούμε μια κλειστή υποομάδα K της G με την ιδιότητα H\subset K\subset N_G(H). Τότε η πολλαπλότητα Stiefel G/H είναι ο ολικός χώρος της νηματοποίησης K/H \to G/H \to G/K. Θεωρούμε τις περιπτώσεις όπου η βάση G/K είναι είτε ένας γενικευμένος χώρος Wallach, είτε μια γενικευμένη πολλαπλότητα σημαιών με δύο ισοτροπικούς προσθεταίους. Το δεύτερο αντικείμενο μελέτης της διατριβής, είναι η εύρεση αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) και Sp(n). Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομάδες Lie G ως ομογενείς χώρους μέσω της αμφιδιαφόρισης G\cong (G\times K)/Δ(Κ), όπου Κ μια κλειστή υποομάδα της G και να μελετήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα G, οι οποίες καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο του ομογενούς χώρου (G\times K)/Δ(Κ). Για αυτά τα αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα αποδεικνύουμε κατάλληλες συνθήκες για τις παραμέτρους τους, ώστε οι αντίστοιχες αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην G να είναι φυσικά αναγωγικές, σύμφωνα με τη θεωρία των J. D'Atri και W. Ziller. Τέλος εκμεταλλευόμενοι καταλλήλως αυτές τις συνθήκες αποδεικνύουμε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις ομάδες Lie G=SO(n), Sp(n) οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές.
Open Access
Αναλλοίωτοι και ασυμπτωτικαί ιδιότητες εκτιμητών και ζητήματα στοχαστικών μαθηματικών
(2009-10-08T06:31:58Z) Δρόσος, Κωνσταντίνος; Ρούσσας, Γ.; Ρούσσας, Γ.; Drosos, Konstantinos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
-
Open Access
Ανάλυση και πρόβλεψη χαοτικών χρονοσειρών με μεθόδους της μη γραμμικής δυναμικής
(2009-09-11T09:07:10Z) Παπαϊωάννου, Γεώργιος; Μπούντης, Α.; Μπούντης, Α.; Καφούσιας, Νικόλαος; Βραχάτης, Μιχάλης; Παπαγεωργίου, Βασίλης; Papaioannou, Georgios
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
-
Open Access
Ανάπτυξη και θεμελίωση μεθόδων για αξιόπιστους νευρωνικούς υπολογισμούς
Αδάμ, Σταύρος; Βραχάτης, Μιχαήλ; Βραχάτης, Μιχαήλ; Μαγουλάς, Γεώργιος; Καρράς, Δημήτριος; Λυκοθανάσης, Σπυρίδων; Τζες, Αντώνιος; Πλαγιανάκος, Βασίλειος; Κωτσιαντής, Σωτήριος; Adam, Stavros
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Το αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής αϕορά στην ανάπτυξη και στη θεμελίωση μεθόδων για αξιόπιστους νευρωνικούς υπολογισμούς. Ένα σημαντικό τμήμα της διατριβής είναι αφιερωμένο στη μαθηματική θεμελίωση των μεθόδων. Ειδικότερα, η διατριβή εστιάζει στη διαχείριση της αβεβαιότητας που είναι σύμϕυτη με την επεξεργασία των δεδομένων δηλαδή με τους αλγορίθμους επεξεργασίας. Τα ζητήματα που αναδεικνύουν και χαρακτηρίζουν την αβεβαιότητα σε επίπεδο επεξεργασίας των δεδομένων σχετίζονται με τις αρχικές και τις οριακές τιμές των αλγορίθμων, τη σθεναρότητα των αλγορίθμων σε σϕάλματα των υπολογισμών ή των δεδομένων, την πληθώρα των ευρετικών που υποκαθιστούν τη μαθηματική μοντελοποίηση άγνωστων παραμέτρων κλπ. Για τη μοντελοποίηση και την επίλυση ζητημάτων, όπως τα ανωτέρω, χρησιμοποιήθηκαν κύρια οι έννοιες και οι μέθοδοι της Ανάλυσης Διαστημάτων καθώς και μαθηματικές προσεγγίσεις όπως η ολική βελτιστοποίηση και η μηδενική στάθμη διανυσμάτων. Επί πλέον, αξιοποιήθηκαν κάποιες τεχνικές ομαδοποίησης και εξόρυξης δεδομένων για συγκεκριμένες περιπτώσεις ανάλυσης δεδομένων. Στα πλαίσια της διατριβής μελετώνται, κυρίως, πολυστρωματικά δίκτυα τύπου perceptron. Η διατύπωση αξιόπιστων αλγορίθμων σχετίζεται με τη διαχείριση της αβεβαιότητας στα ακόλουθα ζητήματα: α) αρχικοποίηση των συναπτικών βαρών, β) βελτιστοποίηση της σχεδίασης του δικτύου, γ) καθορισμός του χώρου εντός του οποίου εγγυημένα βρίσκεται κάποιος ολικός ελάχιστοποιητής της συνάρτησης κόστους της εξόδου του δικτύου, και δ) αξιόπιστη εκτίμηση του πεδίου εγκυρότητας ενός δικτύου.
Open Access
Ανάπτυξη και θεμελίωση νέων μεθόδων υπολογιστικής νοημοσύνης, ευφυούς βελτιστοποίησης και εφαρμογές
(2014-07-17) Επιτροπάκης, Μιχαήλ; Βραχάτης, Μιχαήλ; Πλαγιανάκος, Βασίλειος; Αλεβίζος, Παναγιώτης; Αλεβίζος, Φίλλιπος; Πιντέλας, Παναγιώτης; Λυκοθανάσης, Σπυρίδων; Ανδρουλάκης, Γεώργιος; Epitropakis, Michael
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η παρούσα διατριβή ασχολείται με τη μελέτη, την ανάπτυξη και τη θεμελίωση νέων μεθόδων Υπολογιστικής Νοημοσύνης και Ευφυούς Βελτιστοποίησης. Συνοπτικά οργανώνεται στα ακόλουθα τρία μέρη: Αρχικά παρουσιάζεται το πεδίο της Υπολογιστικής Νοημοσύνης και πραγματοποιείται μία σύντομη αναφορά στους τρεις κύριους κλάδους της, τον Εξελικτικό Υπολογισμό, τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα και τα Ασαφή Συστήματα. Το επόμενο μέρος αφιερώνεται στην παρουσίαση νέων, καινοτόμων οικογενειών των αλγορίθμων Βελτιστοποίησης Σμήνους Σωματιδίων (ΒΣΣ) και των Διαφοροεξελικτικών Αλγόριθμων (ΔΕΑ), για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς, έχοντας είτε ένα, είτε πολλαπλούς ολικούς βελτιστοποιητές. Οι αλγόριθμοι ΒΣΣ και ΔΕΑ αποτελούν τις βασικές μεθοδολογίες της παρούσας διατριβής. Όλες οι οικογένειες μεθόδων που προτείνονται, βασίζονται σε παρατηρήσεις των κοινών δομικών χαρακτηριστικών των ΒΣΣ και ΔΕΑ, ενώ η κάθε προτεινόμενη οικογένεια τις αξιοποιεί με διαφορετικό τρόπο, δημιουργώντας νέες, αποδοτικές μεθόδους με αρκετά ενδιαφέρουσες ιδιότητες και δυναμική. Η παρουσίαση του ερευνητικού έργου της διατριβής ολοκληρώνεται με το τρίτο μέρος στο οποίο περιλαμβάνεται μελέτη και ανάπτυξη μεθόδων ολικής βελτιστοποίησης για την εκπαίδευση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Υψηλής Τάξης, σε σειριακά και παράλληλα ή / και κατανεμημένα υπολογιστικά συστήματα. Η διδακτορική διατριβή ολοκληρώνεται με βασικά συμπεράσματα και τη συνεισφορά της.
Open Access
Ανάπτυξη και θεμελίωση νέων μεθόδων υπολογιστικών μαθηματικών στην υπολογιστική νοημοσύνη
Αλεξανδρόπουλος, Σταμάτιος-Άγγελος; Alexandropoulos, Stamatios-Aggelos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Δύο πολύ σημαντικά επιστημονικά πεδία, αυτά της Υπολογιστικής Νοημοσύνης και των Υπολογιστικών Μαθηματικών, ενδείκνυνται για την αποτελεσματική και αποδοτική αντιμετώπιση σύνθετων προβλημάτων του πραγματικού κόσμου. Ένα ευρύ φάσμα μεθόδων και τεχνικών, έχει αναπτυχθεί με βάση τα δύο προαναφερθέντα επιστημονικά πεδία, συγκεντρώνοντας την προσοχή της επιστημονικής κοινότητας. Αυτό που παρατηρείται συχνά είναι αλγόριθμοι και τεχνικές, που είναι προσαρμοσμένες σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, δίχως να είναι σε θέση να ανταποκριθούν το ίδιο καλά σε άλλα, παρόμοια προβλήματα. Η "συνεργασία" των δύο παραπάνω επιστημονικών τομέων δύναται να παράσχει αλγορίθμους με μαθηματική θεμελίωση για την αξιόπιστη αντιμετώπιση μιας πληθώρας συγγενικών προβλημάτων. Οι αλγόριθμοι και τα μοντέλα που συναντώνται στον τομέα της Υπολογιστικής Νοημοσύνης και έχουν τις βάσεις τους σε μεθόδους των Υπολογιστικών Μαθηματικών (Αριθμητικής Επίλυσης Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων), αποτελούν ένα σημαντικό μέρος αυτής της διατριβής. Η Υπολογιστική Νοημοσύνη, σαν νέος επιστημονικός κλάδος, περιγράφει υπολογιστικές μεθόδους που εμπνέονται από φυσικά και βιολογικά συστήματα και δύναται να συνδυάσει επιστημονικούς τομείς, όπως τα Υπολογιστικά Μαθηματικά και την Επιστήμη των Υπολογιστών, με αρκετές επεκτάσεις και εφαρμογές σχεδόν σε όλους τους τομείς των θετικών επιστημών και όχι μόνο. Πολλές και διαφορετικές εφαρμογές που άπτονται σε αρκετούς τομείς της έρευνας και της τεχνολογίας εμφανίζονται ή μπορούν να αντιμετωπιστούν ως προβλήματα Βελτιστοποίησης. Αρκετές μέθοδοι της Υπολογιστικής Νοημοσύνης αναφέρονται σε μια ειδική κλάση μεθόδων βελτιστοποίησης που περιλαμβάνει τη μελέτη και τη θεμελίωση υπολογιστικών μεθόδων, οι οποίες αντιμετωπίζουν αποτελεσματικά, δύσκολα προβλήματα του φυσικού κόσμου. Οι μέθοδοι αυτοί είναι πολύ σημαντικές, καθώς προσεγγίζουν προβλήματα Βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς, κάτι που συναντάται συχνότερα στα περισσότερα προβλήματα της τεχνολογίας. Ακόμα, λόγω του εύρους των εφαρμογών, και κυρίως της ανάπτυξης νέων τεχνολογιών, έχουν αναπτυχθεί προβλήματα που επιζητούν λύση και άπτονται σε διαφορετικά είδη Βελτιστοποίησης, όπως η πολυ-αντικειμενική ή Βελτιστοποίηση με περιορισμούς. Για τον χειρισμό αυτών των δύσκολων προβλημάτων, χρησιμοποιούνται μέθοδοι της Υπολογιστικής Νοημοσύνης και συγκεκριμένα, τεχνικές και αλγόριθμοι που ανήκουν στον τομέα της Μηχανικής Μάθησης και των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων. Στα πλαίσια της παραπάνω συνεργατικής αντιμετώπισης, είναι απαραίτητη η μελέτη των προαπαιτούμενων αυτών των αλγορίθμων. Έτσι, πριν την εφαρμογή αυτών των τεχνικών, είναι αναγκαία η προεργασία και προετοιμασία του διαθέσιμου συνόλου δεδομένων, προκειμένου να δημιουργηθούν αξιόπιστα μοντέλα, με καλή απόδοση και καλή ικανότητα γενίκευσης. Κατόπιν, αυτές οι μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν και να αντιμετωπίσουν προβλήματα που άπτονται σε αρκετούς τομείς της επιστήμης, όπως η μηχανική, η φυσική, η βιολογία, τα μαθηματικά, η ιατρική, η επιστήμη των υπολογιστών, η βιομηχανία, η μουσική, η οικονομία, η κρυπτογραφία κ.ά. Στη σύγχρονη βιβλιογραφία, παρουσιάζεται ένα τεράστιο πλήθος αλγορίθμων και τεχνικών που άπτονται στις παραπάνω κατευθύνσεις. Παρόλα αυτά, η πλειοψηφία τους αφορά ένα συγκεκριμένο πλαίσιο, το οποίο είναι προσαρμοσμένο στις ανάγκες του εκάστοτε προβλήματος. Συνήθως περιορίζονται σε στατιστικά μοντέλα και σε παραμέτρους που πληρούν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, αποκλείοντας, έτσι, την επιτυχή εφαρμογή σε οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα, ή ακόμα και στο ίδιο πρόβλημα με διαφορετικές ανάγκες. Μια αξιόπιστη λύση σε αυτό το μείζον ζήτημα παρέχεται μέσω της ανάπτυξης αλγορίθμων με μαθηματική θεμελίωση και μαθηματική απόδειξη. Ένας αλγόριθμος με ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περισσότερες εφαρμογές με μεγαλύτερη επιτυχία. Προς αυτή την κατεύθυνση στηρίζεται ο πυρήνας της διδακτορικής διατριβής, δηλαδή στη μαθηματική θεμελίωση αλγοριθμικών τεχνικών, οι οποίες θα απευθύνονται σε μια πλειάδα προβλημάτων, καλύπτοντας, έτσι, υπαρκτά κενά στην επιστημονική βιβλιογραφία ως προς την Υπολογιστική Νοημοσύνη και τα Υπολογιστικά Μαθηματικά. Πιστεύουμε και προσδοκούμε ότι τα αποτελέσματα της διατριβής θα συνεισφέρουν στη δημιουργία αξιόπιστων μεθόδων, οι οποίες, μεταξύ άλλων, θα δώσουν τη δυνατότητα σε επιστήμονες άλλων περιοχών ως προς την αξιόπιστη αντιμετώπιση μεγάλης κλίμακας και πολυπλοκότητας προβλημάτων, τα οποία, συχνά, εμφανίζονται σε πολλούς επιστημονικούς, οικονομικούς, βιομηχανικούς και εμπορικούς τομείς με προφανή οφέλη. Συγκεκριμένα, η διδακτορική διατριβή ξεκινά με μια σύντομη εισαγωγή στο Κεφάλαιο 1, στην οποία ο αναγνώστης συναντά τις βασικές πτυχές της Υπολογιστικής Νοημοσύνης, των Υπολογιστικών Μαθηματικών, καθώς και σημαντικά σημεία της Βελτιστοποίησης και Μηχανικής Μάθησης. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται πολύ σημαντικά ζητήματα της Μαθηματικής Βελτιστοποίησης και αναλυτικότερα, αποτελέσματα που σχετίζονται με το γνωστό θεώρημα "No free lunch theorems for optimization'' αλλά και την πιθανή ύπαρξη "Free lunches". Στο επόμενο κεφάλαιο, ο αναγνώστης συναντά την ανάπτυξη μιας νέας οικογένειας μεθόδων Βελτιστοποίησης, όπως αυτή εμπνεύστηκε από τις δυναμικές τροχιές ανίχνευσης των Snymam-Fatti και τις μεθόδους Runge-Kutta για την αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Επίσης, ο αγνώστης μπορεί να μελετήσει το προτεινόμενο θεώρημα μέσω του οποίου τεκμηριώνεται αυτή η οικογένεια, όπως και τη σχετική απόδειξη. Το Κεφάλαιο 4 καταπιάνεται με πτυχές της Μηχανικής Μάθησης, και συγκεκριμένα με τα προαπαιτούμενα των αλγορίθμων (προεπεξεργασία των δεδομένων), ώστε αργότερα να μπορούν αυτοί να εφαρμοστούν αποτελεσματικά σε διάφορα προβλήματα, όπως αυτό της ελαχιστοποίησης, της ταξινόμησης κ.ά. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί, παρουσιάζεται μια νέα, υβριδική μέθοδος για την αντιμετώπιση του προβλήματος αναγνώρισης ακραίων τιμών σε ένα σύνολο δεδομένων, όπως και οι σχετικές συγκρίσεις αυτής της μεθόδου με γνωστές και ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους αυτής της κατηγορίας. Στο Κεφάλαιο 6, αναπτύσσεται μια συνεργατική μέθοδος για την προσέγγιση του προβλήματος ταξινόμησης σε ποικίλα σύνολα δεδομένων, μαζί με τα αντίστοιχα αποτελέσματα και τις συγκρίσεις που διεξήχθησαν. Ακόμα, στο Κεφάλαιο 7, αναλύονται βασικά ζητήματα της πολυ-αντικειμενικής Βελτιστοποίησης, χαρτογραφούνται οι περιοχές εφαρμογής της, όπως και οι αλγόριθμοι Υπολογιστικής Νοημοσύνης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση τέτοιων προβλημάτων. Η διδακτορική διατριβή ολοκληρώνεται με το Κεφάλαιο 8, στο οποίο ο αναγνώστης συναντά μια σύνοψη, χρήσιμα συμπεράσματα, όπως και μελλονικές ερευνητικές προσπάθειες.
Open Access
Ανάπτυξη πρωτότυπων αλγορίθμων μηχανικής μάθησης για χρήση σε εκπαιδευτικά δεδομένα και σε συστήματα διαχείρισης εκπαιδευτικού περιεχομένου
Κωστόπουλος, Γεώργιος; Ράγγος, Όμηρος; Κωτσιαντής, Σωτήριος; Τσέλιος, Νικόλαος; Χατζηλυγερούδης, Ιωάννης; Ξένος, Μιχάλης; Παναγιωτακόπουλος, Χρήστος; Καλλές, Δημήτριος; Kostopoulos, Georgios
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η αξιοποίηση των τεχνολογιών της πληροφορίας και των επικοινωνιών στον χώρο της εκπαίδευσης συμβάλλει καθημερινά στην παραγωγή και αποθήκευση μεγάλων ποσοτήτων δεδομένων. Η ανάγκη αποτελεσματικής ανάλυσης αυτών των δεδομένων για την ανακάλυψη πολύτιμων πληροφοριών και τη μετατροπή τους σε συστηματική γνώση συντέλεσε στην ανάπτυξη των πεδίων της Εξόρυξης Γνώσης από Εκπαιδευτικά Δεδομένα και της Μαθησιακής Αναλυτικής. Η Εξόρυξη Γνώσης από Εκπαιδευτικά Δεδομένα επικεντρώνεται στην ανάπτυξη και εφαρμογή μεθόδων Εξόρυξης Γνώσης σε εκ-παιδευτικά δεδομένα για την επίλυση σημαινόντων εκπαιδευτικών προβλημάτων, ενώ η Μαθησιακή Αναλυτική εστιάζει περισσότερο στη διαδικασία της μάθησης, αξιοποιώντας την ανάλυση δεδομένων για την ενίσχυση των διαδικασιών λήψης αποφάσεων. Ωστόσο, ανεξάρτητα από τον τρόπο προσέγγισης ενός εκπαιδευτικού προβλήματος, και τα δύο επιστημονικά πεδία έχουν κοινούς στόχους: τη βελτίωση της μάθησης και την αναβάθμιση της ποιότητας της προσφερόμενης εκπαίδευσης. Η πρόβλεψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων των εκπαιδευομένων συνιστά ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα των πεδίων της Εξόρυξης Γνώσης από Εκπαιδευτικά Δεδομένα και της Μαθησιακής Αναλυτικής. Η αντιμετώπιση του συγκεκριμένου προβλήματος αφορά στη δημιουργία ενός μοντέλου κατηγοριοποίησης ή παλινδρόμησης, ανάλογα με τη φύση του χαρακτηριστικού πρόβλεψης, εφαρμόζοντας έναν κατάλληλα επιλεγμένο αλγόριθμο Επιβλεπόμενης Μηχανικής Μάθησης, όπως είναι, για παράδειγμα, ένα δέντρο απόφασης. Ωστόσο, η δημιουργία ενός προβλεπτικού μοντέλου προϋποθέτει την εκπαίδευση του αλγορίθμου σε ένα σύνολο ετικετοποιημένων δεδομένων, δηλαδή ένα σύνολο για το οποίο είναι γνωστές τόσο οι τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών, όσο και η τιμή της μεταβλητής απόφασης. Η δυσκολία συλλογής ετικετοποιημένων δεδομένων έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη νέων μεθόδων Μηχανικής Μάθησης οι οποίες χαρακτηρίζονται, γενικά, με τον όρο «Μηχανική Μάθηση με Ελλιπή Επίβλεψη». Η Ημι-Επιβλεπόμενη Μηχανική Μάθηση και η Ενεργή Μηχανική Μάθηση αποτελούν τις κύριες συνιστώσες αυτού του ραγδαία αναπτυσσόμενου πεδίου, στοχεύοντας στη βέλτιστη αξιοποίηση ετικετοποιημένων και μη ετικετοποιημένων δεδομένων για τη δημιουργία αποτελεσματικών και εύρωστων μοντέλων Μηχανικής Μάθησης. Τα τελευταία χρόνια, αρκετοί αλγόριθμοι Μηχανικής Μάθησης με Ελλιπή Επίβλεψη έχουν αναπτυχθεί και εφαρμοστεί με μεγάλη επιτυχία για την επίλυση διάφορων προβλημάτων σε πολλά επιστημονικά πεδία. Ωστόσο, η αποτελεσματικότητα αυτών των μεθόδων δεν έχει μελετηθεί στο πεδίο της εκπαίδευσης, όπως συνάγεται από την ανασκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας, δημιουργώντας νέες προκλήσεις για επιστήμονες και ερευνητές του χώρου. Οι προκλήσεις αυτές δεν αφορούν μόνο στην εφαρμογή υφιστάμενων μεθόδων Μηχανικής Μάθησης με Ελλιπή Επίβλεψη στα πεδία της Εξόρυξης Γνώσης από Εκπαιδευτικά Δεδομένα και της Μαθησιακής Αναλυτικής, αλλά και στην ανάπτυξη νέων αλγορίθμων για την διύλιση πολύτιμης γνώσης από τεράστιες ποσότητες εκπαιδευτικών δεδομένων. Σε αυτό το πλαίσιο, ο πρωταρχικός σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη νέων μεθόδων Μηχανικής Μάθησης με Ελλιπή Επίβλεψη και η εφαρμογή τους στην πρόβλεψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων των σπουδαστών σε διάφορες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Πιο συγκεκριμένα, αναπτύσσουμε έναν αλγόριθμο Ημι-Επιβλεπόμενης Κατηγοριοποίησης με Συνεκπαίδευση και έναν αλγόριθμο Ημι-Επιβλεπόμενης Παλινδρόμησης για την πρόβλεψη της απόδοσης και του βαθμού, αντίστοιχα, προπτυχιακών φοιτητών στην εξ αποστάσεως τριτοβάθμια εκπαίδευση. Οι προτεινόμενες μέθοδοι κρίνονται κατάλληλες τόσο για την αποτελεσματική, όσο και την έγκαιρη πρόβλεψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων των σπουδαστών, όπως τεκμαίρεται από τα πειραματικά αποτελέσματα των δημοσιευμένων εργασιών μας. Ολοκληρώνοντας, θεωρούμε ότι η παρούσα διατριβή αποτελεί την πρώτη συστηματική και ολοκληρωμένη προσπάθεια για την αξιοποίηση της Μηχανικής Μάθησης με Ελλιπή Επίβλεψη στον χώρο της εκπαίδευσης, προσδοκώντας σαφώς καλύτερα αποτελέσματα από τις παραδοσιακές μεθόδους Επιβλεπόμενης Μάθησης.
Open Access
Ανάπτυξη πρωτότυπων μερικώς επιβλεπόμενων αλγορίθμων μηχανικής μάθησης
Κάρλος, Σταμάτης; Κωτσιαντής, Σωτήριος; Καββαδίας, Δημήτριος; Karlos, Stamatis
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Οι ολοένα και περισσότερες τεχνολογικές εφαρμογές που αλληλοεπιδρούν με τις διάφορες πτυχές της ανθρώπινης υπόστασης, έχουν φτάσει σήμερα να χαρακτηρίζονται από ένα κοινό στοιχείο: την παραγωγή τεράστιων ποσοτήτων δεδομένων, ιδίως αν αυτό συγκριθεί με τις προηγούμενες δεκαετίες. Αυτό το γεγονός, που έχει εναρμονιστεί ιδανικά με την ταυτόχρονη ανάπτυξη των τεχνολογιών αποθήκευσης και ανάκτησης αντίστοιχων ποσοτήτων δεδομένων, επιβάλει μεγάλες δυσκολίες κατά την αξιοποίηση τους ως πηγή πληροφόρησης για την εφαρμογή προβλεπτικών μοντέλων μάθησης σύμφωνα με τις αρχές των πεδίων της Μηχανικής Μάθησης και της Εξόρυξης Γνώσης. Ο κύριος λόγος είναι η αδυναμία κτήσης των ετικετών ή των πραγματικών τιμών που συνοδεύουν αυτές τις εγγραφές, ανάλογα με το αν αναφερόμαστε σε πρόβλημα Κατηγοριοποίησης ή Παλινδρόμησης, χωρίς να καταφεύγουμε σε διαδικασίες που επιβάλουν μεγάλες χρονικές καθυστερήσεις ή/και αντίστοιχα μεγάλα υλικά κόστη, αναλογιζόμενοι πάντοτε τον τεράστιο όγκο δεδομένων που καλούμαστε να διαχειριστούμε. Ως απάντηση σε αυτό το πρόβλημα διαχείρισης των πολυάριθμων συνήθως μη-ετικετοποιημένων στιγμιότυπων σε συνδυασμό με την παράλληλη ύπαρξη ενός μικρού πλήθους ετικετοποιημένων στιγμιότυπων, έχει αναδυθεί τα τελευταία χρόνια η εκδοχή των αλγορίθμων Μερικώς Επιβλεπόμενης Μάθησης. Σύμφωνα με αυτή την κατηγορία αλγορίθμων, το εκάστοτε προβλεπτικό μοντέλο εκπαιδεύεται βασιζόμενο σε ένα αρχικά μικρό πλήθος παραδειγμάτων και γίνεται προσπάθεια άντλησης των πιο χρήσιμων ανά περίπτωση στιγμιότυπων από την αρκετά μεγαλύτερη δεξαμενή μη-ετικετοποιημένων παραδειγμάτων, στοχεύοντας στη βελτίωση τόσο της συνολικής προβλεπτικής συμπεριφοράς όσο και της σθεναρότητας των αποφάσεων του, αποφορτίζοντας τον ανθρώπινο παράγοντα από τις χρονοβόρες διαδικασίες ετικετοποιήσης. Ουσιαστικά, επιδιώκεται η καλύτερη ιχνηλάτιση της υποβόσκουσας κατανομής παραγωγής των εκάστοτε εξεταζόμενων δεδομένων, έτσι ώστε να επιτευχθούν καλύτερα αποτελέσματα σε νέα άγνωστα δεδομένα. Δύο από τις σημαντικότερες κατηγορίες των αλγορίθμων Μερικώς Επιβλεπόμενης Μάθησης είναι αυτές της Ημιεπιβλεπόμενης και της Ενεργητικής Μάθησης. Αν και οι δύο αυτές ευρύτατες οικογένειες προσεγγίσεων παρουσιάζουν αρκετά κοινά στοιχεία, υιοθετώντας επαναληπτικά σχήματα μάθησης και επιτρέποντας σε πιθανοτικούς εκμαθητές να συνδυάζονται καταλλήλως υπό τον τρόπο λειτουργίας τους, διαφοροποιούνται ουσιαστικά σε ένα σημείο. Η πρώτη παράγει πλήρως αυτόνομα εργαλεία μάθησης, σε αντίθεση με τη δεύτερη, η οποία αξιοποιεί τον ανθρώπινο παράγοντα εντός του πυρήνα μάθησης της για την έγκυρη ενημέρωση επί των πιο αμφιλεγόμενων μη-ετικετοποιημένων παραδειγμάτων. Επί του πρακτέου, η κύρια συνεισφορά της παρούσας διατριβής έγκειται στην ανάδειξη της χρησιμότητας των ομαδοποιημένων εκμαθητών εντός του πλαισίου των αλγορίθμων Μερικώς Επιβλεπόμενης Μάθησης, την υιοθέτηση μηχανισμών που επιτρέπουν την περαιτέρω μείωση του κόστους, χρονικού ή υλικού, και την παρατήρηση της χρησιμότητας τους, καθώς και τη μελέτη της εφαρμογής παρόμοιων προσεγγίσεων σε επιστημονικά πεδία τα οποία δεν έχουν μελετηθεί, είτε καθόλου είτε χωρίς μεγάλη εμβάθυνση από άλλες σχετικές εργασίες στη βιβλιογραφία. Προκειμένου μάλιστα να διευρυνθεί η δυνατότητα εφαρμογής των προτεινόμενων αλγορίθμων, οι υποθέσεις που τέθηκαν ήταν αρκετά ανεκτικές, λειτουργώντας υπό αποδοτικά σχήματα μάθησης Μίας Όψης, δίνοντας ταυτόχρονα μεγάλο βάρος στην απόκτηση προβλέψεων υψηλής ποιότητας μέσω ποικίλων προσεγγίσεων σύστασης ομαδοποιημένων εκμαθητών. Η πρόταση μάλιστα συνεργασίας των δύο αυτών προσεγγίσεων υπό κοινό μηχανισμό αξιοποίησης των διαθέσιμων δεδομένων και υπολογιστικών πόρων, χαράσσει μία στρατηγική με πολύπλευρα πρακτικά οφέλη, τα οποία προκύπτουν από την αρμονικό συνδυασμό στρατηγικών μάθησης που περιορίζουν δραστικά τον χώρο μάθησης των υποψήφιων μοντέλων μάθησης. Ολοκληρώνοντας, θεωρούμε ότι η παρούσα διατριβή αποτελεί μία ολοκληρωμένη προσπάθεια μελέτης των εξεταζόμενων στρατηγικών μάθησης στο πεδίο της Μερικώς Επιβλεπόμενης Μάθησης, τόσο σε επίπεδο γενικών προβλημάτων όσο και σε πιο εξειδικευμένες περιπτώσεις, όπως αυτές καταγράφθηκαν και ερευνητικά. Απώτερος στόχος, πέρα από την ανάδειξη νέων αλγορίθμων, αποτελεί ο σχολιασμός και η εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων που μπορούν να ωφελήσουν τους ερευνητές που ασχολούνται με το πεδίο αυτό. Σύνδεσμος δημοσιεύσεων: https://dblp.org/pers/hd/k/Karlos:Stamatis
Open Access
Ανισότητες Sobolev και εφαρμογές
(2007-06-24T15:30:05Z) Ταβουλάρης, Νικόλαος Κ.; Κοτσιώλης, Αθανάσιος; Δάσιος, Γεώργιος; Ηλιόπουλος, Δημήτριος; Κοτσιώλης, Αθανάσιος; Tavoularis, Nikolaos K.
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η παρούσα διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της μη γραμμικής ανάλυσης και ειδικότερα στην εύρεση βέλτιστων σταθερών για ανισότητες Sobolev στο χώρο Rn με ανώτερης τάξης δεκαδικές παραγώγους. Επίσης, δίνονται οι αντίστοιχες βέλτιστες σταθερές αυτών των ανισοτήτων πάνω στη σφαίρα Sn με τη χρησιμοποίηση ως βασικού εργαλείου την στερεογραφική προβολή. Τέλος, σαν μια εφαρμογή των ευρεθέντων ανισοτήτων έχουμε ένα θεώρημα σχετικό με αυτό των Rellich-Kondrashov και το οποίο είναι εξαιρετικής σημασίας, ιδιαίτερα στο λογισμό των μεταβολών.
Open Access
Απεικονίσεις Yang-Baxter, δομή Poisson και ολοκληρωσιμότητα
(2011-08-11T07:33:44Z) Κουλούκας, Θεοδωρος; Παπαγεωργίου, Βασίλειος; Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας; Γκίκας, Δημήτριος; Δοίκου, Αναστασία; Μπούντης, Αναστάσιος; Πνευματικός, Σπυρίδων; Τσουμπελής, Δημήτριος; Kouloukas, Theodoros
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή και μελέτη συνολοθεωρητικών λύσεων της κβαντικής εξίσωσης Yang-Baxter (απεικονίσεις Yang-Baxter) και η συσχέτισή τους με την ολοκληρωσιμότητα διακριτών δυναμικών συστημάτων. Οι κατασκευές απεικονίσεων Yang-Baxter που προτείνονται προέρχονται από την αναπαραγοντοποίηση ισχυρών ζευγών Lax εξαρτώμενων από μια φασματική παράμετρο. Οι αντίστοιχοι πίνακες Lax προκύπτουν από την συμπλεκτική εμφύλλωση διωνυμικών πινάκων εφοδιασμένων με μια κατάλληλη δομή Poisson (αγκύλη Sklyanin). Στην περίπτωση των 2x2 πινάκων Lax, οι αντίστοιχες απεικονίσεις είναι συμπλεκτικές, τετράρητες και ταξινομούνται με βάση τον μεγιστοβάθμιο όρο του πίνακα Lax ως προς την ισοδυναμία απεικονίσεων Yang-Baxter. Εκφυλισμένες απεικονίσεις Yang-Baxter, οι οποίες σχετίζονται με γνωστές ολοκληρώσιμες εξισώσεις, προκύπτουν από όρια των τετράρητων (μη-εκφυλισμένων). Η σύνδεση μεταξύ απεικονίσεων Yang-Baxter και ολοκληρωσιμότητας επιτυγχάνεται θεωρώντας περιοδικά προβλήματα αρχικών τιμών σε δισδιάστατα πλέγματα. Σε κάθε απεικόνιση Yang-Baxter αντιστοιχεί μια οικογένεια αντιμεταθετικών απεικονίσεων μεταφοράς στο πλέγμα (transfer maps) που διατηρούν αναλλοίωτο το φάσμα του μονόδρομου πίνακά τους. Η αγκύλη Sklyanin εξασφαλίζει την ενέλιξη των ολοκληρωμάτων που προκύπτουν από το φάσμα του μονόδρομου πίνακα. Κατά αυτόν τον τρόπο από τις συμπλεκτικές απεικονίσεις Yang-Baxter που κατασκευάσαμε παράγονται ολοκληρώσιμες απεικονίσεις μεταφοράς. Τέλος, η μελέτη μας επεκτείνεται σε συστήματα πεπλεγμένων απεικονίσεων Yang-Baxter (entwining Yang-Baxter maps) .
Open Access
Αριθμητική επίλυση μη γραμμικών παραμετρικών εξισώσεων και ολική βελτιστοποίηση με διαστηματική ανάλυση
(2012-01-09) Νίκας, Ιωάννης; Γράψα, Θεοδούλα; Ιορδανίδης, Κοσμάς; Μπότσαρης, Χαράλαμπος; Ανδρουλάκης, Γεώργιος; Τσάντας, Νικόλαος; Λάγαρης, Ισαάκ; Γιαννίκος, Ιωάννης; Nikas, Ioannis
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται το θέμα της αποδοτικής και με βεβαιότητα εύρεσης όλων των ριζών της παραμετρικής εξίσωσης f(x;[p]) = 0, μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης f με [p] ένα διάνυσμα που περιγράφει όλες τις παραμέτρους της παραμετρικής εξίσωσης και τυποποιούνται με τη μορφή διαστημάτων. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν εργαλεία της Διαστηματικής Ανάλυσης. Το κίνητρο για την ερευνητική ενασχόληση με το παραπάνω πρόβλημα προέκυψε μέσα από ένα κλασικό πρόβλημα αριθμητικής ανάλυσης: την αριθμητική επίλυση συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων μέσω διαστηματικής ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε μια ευρετική τεχνική αναδιάταξης του αρχικού πολυωνυμικού συστήματος που φαίνεται να βελτιώνει σημαντικά, κάθε φορά, τον χρησιμοποιούμενο επιλυτή. Η ανάπτυξη, καθώς και τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας αποτυπώνονται στο Κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής. Στο επόμενο Κεφάλαιο 3, προτείνεται μια μεθοδολογία για την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων με διαστηματικές παραμέτρους, δηλαδή την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση διαστηματικών εξισώσεων. Πρώτα, δίνεται μια νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής και αποδεικνύεται η ισοδυναμία της με τον κλασσικό ορισμό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται η νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής ως θεωρητικό εργαλείο για την ανάπτυξη μιας επέκτασης της διαστηματικής μεθόδου Newton που δύναται να επιλύσει όχι μόνο κλασικές μη-παραμετρικές μη-γραμμικές εξισώσεις, αλλά και παραμετρικές (διαστηματικές) μη-γραμμικές εξισώσεις. Στο Κεφάλαιο 4 προτείνεται μια νέα προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Ολικής Βελτιστοποίησης με περιορισμούς διαστήματα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 3. Το πρόβλημα της ολικής βελτιστοποίησης, ανάγεται σε πρόβλημα επίλυσης διαστηματικών εξισώσεων, και γίνεται εφικτή η επίλυσή του με τη βοήθεια των θεωρητικών αποτελεσμάτων και της αντίστοιχης μεθοδολογίας του Κεφαλαίου 3. Στο τελευταίο Κεφάλαιο δίνεται μια νέα αλγοριθμική προσέγγιση για το πρόβλημα της επίλυσης διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων. Η νέα αυτή προσέγγιση, βασίζεται και γενικεύει την εργασία των Hansen και Walster, οι οποίοι πρότειναν μια μέθοδο για την επίλυση διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων 2ου βαθμού.
Open Access
Αριθμητική μελέτη της γραμμικής ανιξωδικής ευστάθειας συμπιεστού υπερηχητικού οριακού στρώματος γύρω από τον κώνο
(2009-09-30T10:41:05Z) Καραμπής, Ανδρέας; Καφούσιας, Νικόλαος; Καφούσιας, Νικόλαος; Μπούντης, Αναστάσιος; Καραχάλιος, Γ.; Karampis, Andreas
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστού, υπερηχητικού οριακού στρώματος γύρω από κύλινδρο ή κώνο. Το υλικό που παρουσιάζεται μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. i) Το αριθμητικό αέρος, όπου γίνεται επέκταση, βελτίωση και σύγκριση αριθμητικών τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστών, υπερηχητικών οριακών στρωμάτων. Σε αυτό το μέρος αναπτύσσονται δύο τεχνικές για την επίλυση των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας οι οποίες βασίζονται στους πίνακες παραγώγισης Chebyshev για την διακριτοποίηση: α) Επαναληπτική μέθοδος: Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με πίνακες παραγώγισης Chebyshev. Το διακριτοποιημένο, γραμμικό, αλγεβρικό σύστημα έχει τη μορφή AΧ - β, όπου ο πίνακας A περιέχει τους συντελεστές από τη διακριτοποίηση, το διάνυσμα Χ περιέχει τις (ζητούμενες) τιμές των ιδιοσυναρτήσεων στα σημεία του πλέγματος και το διάνυσμα b περιέχει τις συνοριακές συνθήκες. Δίνοντας μια αρχική εκτίμηση της ιδοτιμής το σύστημα επιλύεται επαναληπτικά μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη μη διαπερατότητας του στερεού ορίου. β) Ολική μέθοδος (QΖ αλγόριθμος): Σε αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με ανάπτυγμα σε πολυώνυμα Chebyshe, ενώ οι ασυμπτωτικές τιμές των διαταραχών εκτός του οριακού στρώματος αντικαθίστανται από μηδενικές συνθήκες δίνοντας έτσι ένα γενικευμένο, αλγεβρικό πρόβλημα ιδιστιμώντης μορφής ΑΧ = cΒΧ. Το πρόβλημα επιλύεται από τον αλγόριθμο QΖ και δίνει μια προσέγγιση όλου του χάσματος ίδιο τιμών χωρίς την ανάγκη αρχικές εκτίμησης. Βασικό χαρακτηριστικό των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας και πηγή δυσκολιών στην αριθμητική τους επίλυση, είναι η ύπαρξη ιδιαζόντων (Singular) σημείων τα οποία κάνουν δύσκολο και σε κάποιες περιπτώσεις αδύνατο τον εντοπισμό και ακριβή υπολογισμό των ιδιοτιμών. Για την υπέρβαση αυτής της δυσκολίας, οι εξισώσεις ευστάθειας ολοκληρώνονται σε μια διαδρομή εντός του μιγαδικού επιπέδου, η οποία διέρχεται αρκετά μακριά από το ανώμαλο σημείο αυξάνοντας έτσι την ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των αριθμητικών σχημάτων. Το πρόβλημα που προκύπτει σε μια τέτοια περίπτωση είναι ο υπολογισμός των κατανομών της ταχύτητας και της θερμοκρασίας της βασικές ροής στο πλέγμα μιγαδικών σημείων όπου θα επιλυθούν οι εξισώσεις ευστάθειας. H συνήθης πρακτική για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος είναι η επίλυση των εξισώσεων της βασικές ροής σε πλέγμα πραγματικών σημείων και στη συνέχεια το ανάπτυγμα κατά Taylor των λύσεων αυτών ώστε να υπολογιστούν οι τιμές σε ένα πλέγμα μιγαδικών σημείων. Στην εργασία αυτή 1) εξετάζεται η επίδραση του σφάλματος αποκοπής του αναπτύγματος Taylor στην ακρίβεια των υπολογισμών και 2) προτείνεται μια τεχνική όπου οι εξισώσεις του οριακού στρώματος επιλύονται απ’ ευθείας στο μιγαδικό επίπεδο. Για τις εξισώσεις ευστάθειας που χρησιμοποιούμε, υπάρχει αναλυτική έκφραση που δίνει την ασυμπτωτική μορφή των διαταραχών μακριά από το στερεό όριο. Στην έκφραση αυτή των διαταραχών εμπλέκονται μη-γραμμικά οι ιδιοτιμές. Υιοθετώντας λοιπόν αυτού του είδους τις συνθήκες θα πρέπει αναγκαστικά να χρησιμοποιήσουμε μια επαναληπτική μέθοδο όπως η (α) που προτείνουμε εδώ και να αποκλείσουμε τις ολικές τεχνικές όπως η (β). Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας χρησιμοποιούμε άλλα δύο είδη συνοριακών συνθηκών, ομογενείς και γραμμικές μη-ομογενείς. Συγκρίνοντας τα αριθμητικά αποτελέσματα και από τα τρία είδη συνθηκών διερευνάται η επίδραση που έχει η επιλογή τους στην ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των υπολογισμών. Τέλος, τα αποτελέσματα όλων των παραπάνω τεχνικών συγκρίνονται με γνωστά από τη διεθνή βιβλιογραφία αποτελέσματα, τόσο για τη βασική ροή όσο και για τη χρονική Ευστάθεια, ώστε να διαπιστωθεί η ακρίβεια των υπολογισμών. ii) Στο δεύτερο αέρος επεκτείνουμε την μελέτη της φυσικής του προβλήματος με τη χρήση των αριθμητικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν. H μελέτη επεκτάθηκε στην χωρική ευστάθεια, η οποία περιγράφει καλύτερα την φυσική του προβλήματος, και πιο συγκεκριμένα μελετήθηκε: α) Η επίδραση της επιλογής του νομού του ιξώδους και της τιμής του αριθμού Prandtl στην ακρίβεια των υπολογισμών. β) Η αποτελεσματικότητα διαφόρων τεχνικών για τον έλεγχο της ευστάθειας. Οι τεχνικές που μελετήσαμε είναι β1) η ομοιόμορφη θέρμανση/ψύξη των τοιχωμάτων, β2) η ομοιόμορφη έγχυση/αναρρόφηση και β3) κατανεμημένη έγχυση/αναρρόφηση ρευστού μέσω των τοιχωμάτων.
Open Access
Αριθμητικός προσδιορισμός και μελέτη περιοδικών ταλαντώσεων φορτισμένου σωματίου στο μαγνητικό πεδίο της γης
(2009-09-25T08:26:58Z) Κλημόπουλος, Στέργιος; Γούδας, Κων/νος; Γούδας, Κων/νος; Klimopoulos, Stergios
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Στην παρούσα μελέτη, αφού ολοκληρώσαμε τις ήδη ευρεθείσες από άλλους ερευνητές, οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, (δηλαδή τροχιών που είναι συμμετρικές ως προς το ισημερινό επίπεδο και το τέμνουν σε δυο σημεία), προχωρήσαμε ακόμη παραπέρα και για πρώτη φορά, υπολογίσαμε οικογένειες πολλαπλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, οι οποίες "διακλαδίζονται" από τις προηγούμενες, καθώς και οικογένειες ασύμμετρων περιοδικών τροχιών. Θα πρέπει ακόμη να σημειωθεί ότι υπολογίσαμε και τα ευσταθή τμήματα των οικογενειών αυτών, πράγμα που έχει ιδιαίτερη σημασία για τη μελέτη των ζωνών Van Allen.
Open Access
Γενικευμένα πολυώνυμα Fibonacci και κατανομές πιθανότητας
(2015-05-06) Φιλίππου, Γιώργος; Τσερπές, Νικόλαος; Τσερπές, Νικόλαος; Ρούσσας, Γεώργιος; Υφαντής, Ευάγγελος; Μητακίδης, Γεώργιος; Παπασταυρίδης, Σταύρος; Δρόσος, Κωνσταντίνος; Ιωακειμίδης, Νικόλαος; Filippou, Giorgos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Η τόσο συχνή εμφάνιση της ακολουθίας Fibonacci στη φύση καθώς και ο συσχετισμός της με πλείστους τομείς της μαθηματικής επιστήμης έδωσε αφορμή να ενταθεί η έρευνα στην περιοχή αυτή. Και τούτο ιδιαίτερα τις τελευταίες δύο δεκαετίες. Τα πολυώνυμα Fibonacci k-τάξης αποτελούν μία από τις ευρύτερες γενικεύσεις της ακολουθίας Fibonacci. Η μελέτη των πολυωνύμων αυτών και η σύνδεσή τους με την πιθανότητα είναι το κύριο αντικείμενο της διατριβής αυτής. Η κατανομή πιθανότητας της τ. μ. Χk, όπου Xk το πλήθος των επαναλήψεων σε ένα πείραμα δοκιμών Bernoulli ώσπου να προκύψουν k διαδοχικές επιτυχίες, έχει ονομασθεί "κατανομή πιθανότητας Fibonacci". Η σχέση της κατανομής Fibonacci με τα πολυώνυμα Fibonacci οδήγησε στις γενικευμένες κατανομές πιθανότητας που αποτέλεσε το δεύτερο άξονα της μελέτης αυτής.
Open Access
Δευτέρας και τρίτης τάξεως μεταβολαί εις το περιορισμένον πρόβλημα των τριών σωμάτων
(2010-08-31T07:05:47Z) Ζαγούρας, Χαράλαμπος Γ.; Γούδας, Κ.; Γούδας, Κ.; Zagouras, Charalampos G.
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
-
Open Access
Δημιουργία ευφυούς συστήματος για αυτόματη σύνθεση μουσικού έργου
(2010-11-01T08:57:05Z) Χαλκιόπουλος, Κωνσταντίνος; Χατζηλυγερούδης, Ιωάννης; Μπότσαρης, Χαράλαμπος; Ράγγος, Όμηρος; Λυκοθανάσης, Σπυρίδωνας; Γαροφαλάκης, Ιωάννης; Μακρής, Χρήστος; Bουτσινάς, Βασίλειος; Χατζηλυγερούδης, Ιωάννης; Halkiopoulos, Constantinos
Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)
Μία από τις βασικές προκλήσεις στο μουσικό αυτοσχεδιασμό είναι ο διαδραστικός αυτοσχεδιασμός μεταξύ ενός ανθρώπου και ενός συστήματος. Στη παρούσα ενότητα παρουσιάζουμε ένα μουσικό διαδραστικό σύστημα (Πολύμνια) ως συνεχιστή της μελωδίας (as melody continuator). Για κάθε μουσικό πρότυπο (pattern) που έχει δοθεί από το χρήστη, το ευφυές σύστημα ανακαλεί ένα όμοιο (similar) γενικό πρότυπο που είναι αποθηκευμένο στη βάση του (database) και το οποίο το αναμορφώνει ανάλογα (reform). Το προτεινόμενο σύστημα κατευθύνει τη μουσική αναπαράσταση και την ομοιότητα του μουσικού προτύπου (musical pattern similarity) στη χρήση της εξόρυξης δεδομένων (data mining). Προτείνουμε ένα σχήμα μουσικής αναπαράστασης το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ανάλυση εξόρυξης δεδομένων (data mining analysis) η οποία στοχεύει στη μάθηση γενικών προτύπων και για τη συχνότητα και για τη διάρκεια σε συγκεκριμένα είδη μουσικής (music styles). Η εξόρυξη δεδομένων είναι μια αναδυόμενη διαδικασία μηχανικής μάθησης με την εξαγωγή προηγουμένως άγνωστων, αγώγιμων (actionable) πληροφοριών από πολύ μεγάλες επιστημονικές και εμπορικές βάσεις δεδομένων. Η μηχανική μάθηση (machine learning) έχει παίξει έναν κρίσιμο ρόλο στη υπολογιστική μουσική (computer music) σχεδόν από την αρχή της. Πρόσφατα η έρευνα στο πεδίο έχει εστιαστεί στην εξόρυξη μουσικής (music mining). Παρουσιάζουμε επίσης πειραματικά αποτελέσματα για έλεγχο και αξιολόγηση της αποδοτικότητας (efficiency) και της ακρίβειας του προτεινόμενου συστήματος «Πολύμνια».