Μαθηματικές ιδιότητες της γραμμικής ελαστικότητας

Loading...
Thumbnail Image

Date

2024-05-17

Authors

Λαμπροπούλου, Δήμητρα

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Publisher

Abstract

Η μηχανική των συνεχών μέσων και ιδιαίτερα η θεωρία της ελαστικότητας αποτελεί ένα απόσπαστο μέρος της επιστήμης και της σύγχρονης τεχνολογίας. Επομένως, στόχος της παρούσας διατριβής είναι η μαθηματική μελέτη των βασικών ιδιοτήτων της γραμμικής ισότροπης και ανισότροπης ελαστικότητας με σκοπό την ανάπτυξη αναλυτικών λύσεων στο σημαντικό αυτό πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Ξεκινώντας από τα ισότροπα υλικά, όπου οι ιδιότητες είναι ανεξάρτητες του προσανατολισμού, είναι γνωστό ότι η γραμμική ισότροπη ελαστικότητα είναι ένας ενδιαφέρον κλάδος της μηχανικής συνεχούς που περιγράφεται από τους θεμελιώδεις νόμους του Hooke και του Newton, οι οποίοι συνδυάζονται για την κατασκευή της γενικευμένης εξίσωσης Navier για τη μετατόπιση εντός οποιουδήποτε υλικού. Από την άλλη πλευρά, η σφαιρική γεωμετρία παρέχει το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο εργαλείο σε πραγματικές εφαρμογές που αφορούν εσωτερικά και εξωτερικά προβλήματα ελαστικότητας, για αυτό και αρχικά σκοπός είναι η παραγωγή έτοιμων προς χρήση βασικών συναρτήσεων στη γραμμική ισότροπη ελαστικότητα σε σφαιρικές συντεταγμένες. Ως εκ τούτου, καθορίζεται το σύνολο των ιδιολύσεων μετατόπισης που παράγονται μέσω της διαφορικής αναπαράστασης Papkovich σε όρους σφαιρικών αρμονικών ιδιοσυναρτήσεων, αποκτώντας τύπους σύνδεσης μεταξύ Navier και σφαιρικών αρμονικών πυρήνων. Στη συνέχεια, εισάγεται η βασική θεωρία της ανισότροπης ελαστικότητας, όπου οι ιδιότητες δεν παραμένουν αναλλοίωτες υπό τη δράση μετασχηματισμών στροφής και εφαρμόζονται τα χαρακτηριστικά της ανισοτροπίας στον νόμο του Newton και στον νόμο του Hooke, συναρτήσει των δυαδικών τελεστώ έντασης και τάσης, καθώς και του τετραδικού τελεστή δυσκαμψίας. Οι συνιστώσες του τετραδικού, δεδομένων συγκεκριμένων συμμετριών του χώρου, δίνουν τις ελαστικότητες, οι οποίες χαρακτηρίζου ένα γραμμικό ανισότροπο ελαστικό μέσο. Για διαφορετικές ελαστικότητες, λαμβάνονται οκτώ διαφορετικές ανισοτροπίες, εκ των οποίων ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην πλήρη ανάλυση του κυβικού συστήματος. Ωστόσο, προκειμένου να θεμελιωθεί η προτεινόμενη μεθοδολογία, παρουσιάζεται και η απλή περίπτωση της ισοτροπίας με τον αντίστοιχο πίνακα δυσκαμψίας που περιέχει τις ελαστικές σταθερές Lamé. Συνεχίζοντας στην κατασκευή μαθηματικών εργαλείων σε αυτή την κατεύθυνση, εισάγεται ένας τροποποιημένος τελεστής κλίσης μέσω ενός δυαδικού τελεστή που ενσωματώνει τα χαρακτηριστικά του ανισότροπου υλικού και εκφράζει τη συμπεριφορά του ως προς τις διευθύνσεις του χώρου. Ο τροποποιημένος αυτός τελεστής είναι ο τελεστής Laplace για ανισότροπα υλικά, ο οποίος έχει ενσωματωμένο ένα σταθερό δυαδικό πεδίο που περιέχει την πληροφορία της ανισοτροπίας. Μέσω μιας κομψής και εύχρηστης τεχνικής, υπολογίζονται θεωρητικά οι λεγόμενες ανισότροπες αρμονικές ιδιοσυναρτήσεις σε καρτεσιανή μορφή και τα αντίστοιχα πλήρη αναπτύγματα, τα οποία έχει αποδειχθεί ότι ικανοποιούν την τροποποιημένη εξίσωση του Laplace για ανισότροπα υλικά. Στο πλαίσιο αυτό, παράγονται ανισότροπες αρμονικές συναρτήσεις για τυχαία ανισοτροπία του υλικού που δίνεται μέσω του σταθερού δυαδικού πεδίου έως και τετάρτου βαθμού και επαρκεί για τις περισσότερες φυσικές εφαρμογές. Παρόλα αυτά, η συγκεκριμένη τεχνική παρέχει τη γενική μεθοδολογία, η οποία μπορεί να ακολουθηθεί πιστά για την κατασκευή αρμονικών ιδιοσυναρτήσεων ανώτερου βαθμού σε οποιοδήποτε ανισότροπο χώρο. Τέλος, κατασκευάζονται εφαρμόσιμες αναλυτικές λύσεις για το νόμο του Newton, παίρνοντας χρονική ανεξαρτησία και θεωρώντας την περίπτωση της απουσίας σωματικών δυνάμεων. Προς αυτή την κατεύθυνση, εισάγεται μια εύχρηστη αναλυτική τεχνική, η οποία παράγει ομογενείς πολυωνυμικές λύσεις του διανυσματικού πεδίου μετατόπισης στην αναλλοίωτη Καρτεσιανή γεωμετρία σε υλικά μέσα που είτε είναι ισότροπα, είτε έχουν ανισοτροπία κυβικού τύπου. Λόγω της πολυπλοκότητας των υπολογισμών και των φυσικών απαιτήσεων, η ανάλυση περιορίζεται στην παραγωγή πολυωνύμων έως και τρίτου βαθμού, προσφέρoντας, όμως, ένα αποτελεσματικό μαθηματικό εργαλείο για τον υπολογισμό λύσεων ανώτερου βαθμού. Η αξιοπιστία της προτεινόμενης μεθοδολογίας επιβεβαιώνεται μέσω του εκφυλισμού των αποτελεσμάτων για κάθε πολυωνυμικό βαθμό από τον ανισότροπο στον ισότροπο ιδιόχωρο, χρησιμοποιώντας έναν απλό μετασχηματισμό. Η προτεινόμενη θεωρία εφαρμοζεται σε ένα αντιπροσωπευτικό πρόβλημα, όπου εξετάζεται η επίδραση που έχει μια συγκεκριμένη δύναμη, εφαρμοζόμενη σε έναν ισότροπο ημίχωρο, στο γειτονικό ημίχωρο με κυβική ανισοτροπία.

Description

Keywords

Μηχανική συνεχούς, Σφαιρικές αρμονικές ιδιοσυναρτήσεις, Ισότροπη ελαστικότητα, Ανισότροπη ελαστικότητα, Αναλυτικές λύσεις

Citation