Please use this identifier to cite or link to this item:
Title: Formulae for the exponential, the hyperbolic and the trigonometric functions in terms of the logarithmic function
Other Titles: Τύποι για την εκθετική, τις υπερβολικές και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω της λογαριθμικής συναρτήσεως
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Anastasselou, Eleni
Keywords: Exponential function
Hyperbolic functions
Trigonometric functions
Logarithmic function
Elementary transcendental functions
Inverse functions
Closed-form formulae
Sectionally analytic functions
Sectionally meromorphic functions
Zeros and poles
Keywords (translated): Εκθετική συνάρτηση
Υπερβολικές συναρτήσεις
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Λογαριθμική συνάρτηση
Στοιχειώδεις υπερβατικές συναρτήσεις
Αντίστροφες συναρτήσεις
Τύποι κλειστής μορφής
Τμηματικά αναλυτικές συναρτήσεις
Τμηματικά μερόμορφες συναρτήσεις
Μηδενικά και πόλοι
Abstract: A common definition of the exponential function is as the inverse function of the logarithmic function, which is defined as the definite integral of the rational function 1/t over the interval [1,x] with x > 0. The hyperbolic functions (hyperbolic sine, cosine, tangent, etc.) are next defined in terms of the exponential function. Here we derive an explicit real formula for the hyperbolic tangent function in terms of the logarithmic function, which is sufficient for the direct derivation of analogous formulae for the exponential function and the other hyperbolic functions. A similar formula for the trigonometric tangent function, which can be directly used for the derivation of analogous formulae for the other trigonometric functions, is also derived. The present results are based on a simple method for the derivation of closed-form formulae for the zeros of sectionally analytic functions.
Abstract (translated): Ένας κοινός ορισμός της εκθετικής συναρτήσεως είναι σαν η αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής συναρτήσεως, που ορίζεται σαν το ορισμένο ολοκλήρωμα της ρητής συναρτήσεως 1/t στο διάστημα [1,x] με x > 0. Στη συνέχεια ορίζονται οι υπερβολικές συναρτήσεις (υπερβολικό ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, κλπ.) μέσω της εκθετικής συναρτήσεως. Εδώ βρίσκουμε έναν συγκεκριμένο πραγματικό τύπο για τη συνάρτηση υπερβολική εφαπτομένη μέσω της λογαριθμικής συναρτήσεως, που είναι επαρκής για την άμεση εύρεση ανάλογων τύπων για την εκθετική συνάρτηση και τις άλλες υπερβολικές συναρτήσεις. Βρίσκεται επίσης ένας παρόμοιος τύπος για τη συνάρτηση τριγωνομετρική εφαπτομένη, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα για την εύρεση ανάλογων τύπων για τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τα παρόντα αποτελέσματα βασίζονται σε μια απλή μέθοδο για την εύρεση τύπων κλειστής μορφής για τα μηδενικά τμηματικά αναλυτικών συναρτήσεων.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-1991-Y144.pdf144.63 kBAdobe PDFView/Open

This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons