Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
Item Open Access Απαλοιϕή ποσοδεικτών στη θεωρία μοντέλων και εϕαρµογές στην άλγεβρα(2024-07-26) Χαραλάμπους, Μάριος; Charalampous, MariosΗ εργασία αυτή στοχεύει να δείξει κάποιες εφαρμογές της θεωρίας μοντέλων. Συγκεκριμένα, με χρήση βασικών θεωρημάτων της θεωρίας μοντέλων, θα αποδειχθεί ότι η θεωρία των αλγεβρικώς κλειστών σωμάτων συγκεκριμένης χαρακτηριστικής (είτε αυτή είναι 0, είτε κάποιος πρώτος αριθμός) επιδέχεται απαλοιφή ποσοδεικτών. Στη συνέχεια θα αξιοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα για να δώσουμε αποδείξεις του θεωρήματος του Chevalley για τα κατασκευάσιμα σύνολα και της ασθενούς Nullstellensatz του Hilbert. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο αναφερόμαστε σε πολύ βασικές έννοιες και θεωρήματα της πρωτοβάθμιας λογικής, το λογικό σύστημα δηλαδή που λαμβάνει δράση η θεωρία μοντέλων. Δεν έχει γίνει πλήρης θεμελιακή προσέγγιση των εννοιών με όλες τις λεπτομέρειες που απαιτούνται. Αυτό σημαίνει ότι καλό θα ήταν ο αναγνώστης να έχει μια πρώτη ανάγνωση ενός εισαγωγικού βιβλίου μαθηματικής λογικής. Παρά ταύτα δίνουμε μία αυτόνομη απόδειξη του θεωρήματος του συμπαγούς της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής, το οποίο αποτελεί το βασικό εργαλείο για διάφορες αναπτύξεις της θεωρίας μοντέλων που θα παρουσιαστούν παρακάτω. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρουμε έννοιες της θεωρίας μοντέλων οι οποίες είναι απαραίτητες για να καταλάβουμε ότι θα ακολουθήσει. Ειδικότερα εισάγουμε την έννοια της "απαλοιφής ποσοδεικτών" σε θεωρίες και αποδεικνύουμε ένα βασικό κριτήριο για το πότε μία θεωρία επιδέχεται απαλοιφή ποσοδεικτών. Αυτό το κριτήριο θα χρησιμοποιήσουμε στις εφαρμογές μας. Στο τελευταίο κεφαλαίο αποδεικνύουμε τα τρία κεντρικά αποτελέσματα που προαναφέραμε, εστιάζοντας σε έννοιες της θεωρίας μοντέλων για την απόδειξη τους. Σε αρκετά σημεία κάνουμε χρήση της αποδεικτικής αρχής της υπερπεπερασμένης επαγωγής. Προκειμένου να διαπιστώσουμε ότι πληρούνται οι συνθήκες του κριτηρίου για την απαλοιφή ποσοδεικτών, δίνουμε πρώτα μία απόδειξη της ύπαρξης αλγεβρικής θήκης για κάθε σώμα, βασιζόμενοι στο θεώρημα του συμπαγούς της κατηγορηματικής λογικής. Αφού διαπιστώσουμε την ιδιότητα της απαλοιφής ποσοδεικτών για τη θεωρία των αλγεβρικώς κλειστών σωμάτων, τη χρησιμοποιούμε για να αποδείξουμε το θεώρημα του Chevalley για τα κατασκευάσιμα σύνολα: Για ένα αλγεβρικώς κλειστό σώμα και μία πολυωνυμική απεικόνιση η εικόνα ενός κατασκευάσιμου συνόλου, δηλαδή ενός Boolean συνδυασμού αλγεβρικών πολλαπλοτήτων (algebraic varieties) και συμπληρωμάτων τους, είναι πάλι κατασκευάσιμο σύνολο. Τέλος χρησιμοποιούμε τη μοντελοθεωρητική αυτή ιδιότητα για να δώσουμε μία απόδειξη της κλασικής (ασθενούς) Nullstellensatz του Hilbert: Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων n μεταβλητών επί ενός αλγεβρικώς κλειστού σώματος K είναι μη κενό, εφόσον το ιδεώδες του K[x1, ..., xn] που παράγουν αυτά τα πολυώνυμα είναι γνήσιο.Item Open Access Σύγκριση και ανάλυση αλγόριθμων μείωσης διαστατικότητας(2024-07-05) Φόρτης, Γεώργιος; Fortis, GeorgeΣτις μέρες μας η επιστήμη των δεδομένων, όπως και η Μηχανική Μάθηση εξελίσσονται ραγδαία. Ωστόσο η αύξηση της διαστατικότητας στα δεδομένα αποτελεί ολοένα και μεγαλύτερη πρόκληση λόγω της αυξημένης πολυπλοκότητας και των πόρων που χρειάζονται. Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση και η σύγκριση των τεχνικών μείωσης διαστατικότητας PCA, NMF και ICA σε δεδομένα που εκπαιδεύονται με το μοντέλο της πολλαπλής Γραμμικής Παλινδρόμησης. Η εργασία χωρίζεται σε δύο κύρια μέρη το θεωρητικό και το πρακτικό. Στο θεωρητικό μέρος (κεφάλαια 1-5) αρχικά περιγράφουμε κάποιες έννοιες της Μηχανικής Μάθησης που μας βοηθάνε στην κατανόηση όσων θα ακολουθήσουν στη συνέχεια. Ύστερα αναλύουμε τις μεθόδους μείωσης διαστατικότητας PCA, NMF και ICA όπως και το μοντέλο της γραμμικής παλινδρόμησης, δίνοντας έμφαση στη Μαθηματική τους θεμελίωση. Στο πρακτικό μέρος (κεφάλαια 6-8) γίνεται η εφαρμογή και η σύγκριση των μεθόδων PCA, NMF και ICA σε τρία διαφορετικά σύνολα δεδομένων κλιμακωτής διαστατικότητας. Συγκεκριμένα αρχικά η εφαρμογή και η σύγκριση γίνεται σε δεδομένα πρόβλεψης τιμών αυτοκινήτων. Ύστερα σε δεδομένα πρόβλεψης της θερμοκρασίας με χρήση θερμικής κάμερας και τέλος σε μεγάλα δεδομένα για τη πρόβλεψη της εγκληματικότητας σε διάφορες περιοχές. Να αναφερθεί πως πριν την εφαρμογή των αλγόριθμων PCA, NMF και ICA προηγείται η περιγραφή και η ανάλυση των δεδομένων. Ένα σημαντικό αποτέλεσμα της παρούσας εργασίας είναι πως η μετρική R^2 αυξάνεται σημαντικά σε κάποια σύνολα δεδομένα μετά την εφαρμογή των αλγόριθμων PCA, NMF και ICA. Έτσι εκτός από μείωση των διαστάσεων μπορούμε να επιτυγχάνουμε και καλύτερη επίδοση στα δεδομένα μας.Item Open Access Μέτρα σπουδαιότητας συνιστωσών συστημάτων αξιοπιστίας(2024-05-29) Κερεντζής, Απόστολος; Kerentzis, ApostolosΣτη μελέτη ενός συστήματος αξιοπιστίας είναι πολύ ουσιαστικό να καθοριστούν εκείνες οι συνιστώσες του, η βελτίωση των οποίων θα επιφέρει το μεγαλύτερο κέρδος σχετικά με την αξιοπιστία του ίδιου του συστήματος. Για το λόγο αυτό, η μέτρηση της σπουδαιότητας των συνιστωσών μέσα στο σύστημα καθίσταται πολύ σημαντική. Στην εργασία αυτή θα επικεντρωθούμε στην παρουσίαση και μελέτη τριών {\em μέτρων σπουδαιότητας συνιστωσών} δυαδικών συστημάτων των οποίων αφενός η συνάρτηση δομής είναι αύξουσα, με την έννοια ότι η βελτίωση της κατάστασης μιας συνιστώσας του δεν θα επιφέρει χειροτέρευση της κατάστασης του συστήματος και αφετέρου η κατάσταση του συστήματος εξαρτάται από την κατάσταση όλων των συνιστωσών του (συνεπές σύστημα). Πιο συγκεκριμένα, τα μέτρα σπουδαιότητας που θα μελετηθούν είναι: α) Η δομική σπουδαιότητα συνιστώσας. Το μέτρο αυτό βασίζεται μόνο στη γνώση της δομής του συστήματος. β) Η σπουδαιότητα αξιοπιστίας συνιστώσας. Το μέτρο αυτό λαμβάνει υπόψιν την αξιοπιστία των συνιστωσών καθώς και τη δομή του συστήματος. γ) Η από κοινού σπουδαιότητα συνιστωσών. Το μέτρο αυτό αποτελεί επέκταση της (περιθώριας) σπουδαιότητας αξιοπιστίας και δίνει πρόσθετη πληροφορία στους σχεδιαστές συστημάτων. Το μέγεθος και το πρόσημο του μέτρου αυτού, παρέχουν σημαντική πληροφορία υποδεικνύοντας τον τρόπο με τον οποίο οι συνιστώσες αλληλοεπιδρούν καθορίζοντας την αξιοπιστία του συστήματος. Η εργασία αποτελεί μια επισκόπηση των προαναφερθέντων μέτρων σπουδαιότητας μέσω ανάπτυξης θεωρητικών αποτελεσμάτων και εφαρμογών. Η μελέτη περιλαμβάνει αποτελέσματα για βασικές και γενικευμένες δομές, όπως είναι η σειριακή και η παράλληλη δομή, η δομή της γέφυρας, η σειριακή-παράλληλη, η παράλληλη-σειριακή κ.α. Ιδιαίτερη έμφαση επίσης θα δοθεί στη μελέτη των μέτρων σπουδαιότητας συνιστωσών των k-από-τα-n συστημάτων. Ρεαλιστικές εφαρμογές θα διευκρινίσουν περαιτέρω τη μελέτη.Item Open Access H επίδραση του Covid-19 στην ποιότητα ζωής και στην ψυχική υγεία των φοιτητών στην Ελλάδα(2024-06-18) Παπασταθοπούλου, Ευγενία; Papastathopoulou, EvgeniaΕισαγωγή: Η πανδημία COVID-19 είχε καταστροφικές επιπτώσεις στην παγκόσμια υγεία και συγκεκριμένα συνέβαλε στην αυξανόμενη υποβάθμιση της ποιότητας ζωής και της ψυχικής υγείας των φοιτητών πανεπιστημίου. Η πανδημία COVID-19 ανάγκασε τους φοιτητές να παρακολουθήσουνδιαδικτυακά μαθήματα, τα οποία είχαν αρνητικό αντίκτυπο στο επίπεδο της εκπαίδευσης τους, να χάσουν πολλές ευκαιρίες εργασίας και να ζήσουν τον κοινωνικό αποκλεισμό. Αντιμέτωποι με την πίεση των σπουδών τους και ανησυχώντας για την πανδημία, οι φοιτητές ήρθαν αντιμέτωποι με αρνητικά συναισθήματα άγχους και κατάθλιψης που επηρέασαν την ποιότητα ζωής τους και την ψυχικής τους υγεία. Σκοπός: Η μελέτη μας έχει ως στόχο να διερευνήσει την ποιότητας ζωής και την ψυχική υγεία των φοιτητών πανεπιστημίου στην Ελλάδα κατά τη διάρκεια της πανδημίας του COVID-19. Μέθοδος: Πραγματοποιήθηκε μια δια τομεακή μελέτη (cross-sectional study) κατά την οποία αναλύθηκαν δεδομένα τα οποία προήλθαν από ένα διαδικτυακό ερωτηματολόγιο στο οποίο συμμετείχαν 1.266 φοιτητές πανεπιστημίου στην Ελλάδα το οποίο περιλάμβανε ερωτήσεις που αφορούσαν την ποιότητα ζωής τους και την ψυχική τους υγεία κατά τη διάρκεια της πανδημίας. Χρησιμοποιήθηκαν στο ερωτηματολόγιο τρία ψυχομετρικά εργαλεία μέτρησης ( WHOQOL-BREF, IES-R και HADS). Η ανάλυση των δεδομένων πραγματοποιήθηκε χρησιμοποιώντας τη θεωρία απόκρισης στοιχείου (IRT). Αποτελέσματα: Παρατηρήθηκε ότι η ποιότητας ζωής των φοιτητών η οποία περιλαμβάνει την σωματική υγεία, την ψυχική υγεία, τις κοινωνικές σχέσεις και το περιβάλλον ήταν μέτρια προς καλή με τα δεδομένα μας να παρουσιάζουν μεγάλο εύρος απαντήσεων. Το φύλο, το εισόδημα, η οικογενειακή κατάσταση και τα χρόνια ψυχικά νοσήματα έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη συναισθημάτων άγχους και κατάθλιψης και συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη συμπτωμάτων μετατραυματικού στρες και στην υποβάθμιση της ποιότητας ζωής των φοιτητών της Ελλάδας. Συμπεράσματα: Παρόλο τη μεγάλης διάρκεια που είχε η πανδημία και τα μέτρα περιορισμού, η πανδημία COVID-19 δεν επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ποιότητα ζωής και την ψυχική υγεία των φοιτητών. Συγκεκριμένες ομάδες φοιτητών με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά όπως χαμηλό εισόδημα, χρόνια ψυχικά νοσήματα αντιμετώπισαν σοβαρότερα προβλήματα ψυχικής υγείας . Τα ευρήματα της μελέτης υπογραμμίζουν την ανάγκη για ανάπτυξη στρατηγικών και παρεμβάσεων που θα βοηθήσουν τις πιο ευάλωτες ομάδες των φοιτητών για τη αντιμετώπιση των επιπτώσεων της πανδημίας στην ποιότητα ζωής και στην ψυχική τους υγεία.Item Open Access Χρήση της θεωρίας απόκρισης στοιχείου για την αποτίμηση χρηματιστηριακών δεδομένων(2024-07-02) Μπασούνα, Χριστίνα-Νικολέτα; Basouna, Christina-NikoletaΗ αξιολόγηση των φαρμακευτικών εταιρείων προέκυψε λόγω του ρόλου που έπαιξαν στις Σωές μας οι εταιρείες αυτες τα τελευταία χρονια. Απο την άλλη το χρηματιστήριο είναι μια οργανω-μένη αγορά στην οποία μπορεί ο καθένας να συμμετάσχει στις αγοροπωλησιών κινητών αξιών ή εμπορευμάτων. Η αποτελεσματική και ακριβής αξιολόγηση των δεδομένων της χρηματιστη-ριακής αγοράς είναι ένα κρίσιμο έργο για τους επενδυτές, τους οικονομικούς αναλυτές καιτους υπεύθυνους χάραξης πολιτικής. Οι παραδοσιακές στατιστικές μέθοδοι συχνά υστερούν στην αποτύπωση της περίπλοκης και πολυδιάστατης φύσης των χρηματοοικονομικών δεδομένων, οδηγώντας σε μη βέλτιστη λήψη αποφάσεων και εκτίμηση κινδύνου. Επιθυμητός στόχος αυτής της έρευνας είναι να διερευνήσει την αποτελεσματικότητα της χρήση της Θεωρίας Απόκρισης Στοιχείων για την ανάλυση και αξιολόγηση των δεδομένων της χρη-ματιστηριακής αγοράς, εστιάζοντας συγκεκριμένα σε πτυχές όπως οι κινήσεις των τιμών και η αστάθεια. Αντιμετωπίζοντας τα δεδομένα της χρηματιστηριακής αγοράς ως μια συλλογήστοιχείων με διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας, η Θεωρίας Απόκρισης Στοιχείων παρέχει έναολοκληρωμένο πλαίσιο για τη μοντελοποίηση των δεδομένων. Τα δεδομένα αυτά συλλέχθηκαν μέσω της ιστοσελίδας YAHOO Finance και αναγράφουν τις εβδομαδιαίες αποτυπώσεις των τιμών των δεικτών του χρηματιστηρίου που χρησιμοποιήθηκαν. Η παρούσα διατριβή ξεκινά με την εισαγωγή στις έννοιες που χαρακτηρίζουν το χρηματιστήριοώστε να είναι ευκολότερη η κατανόηση της μεθόδου και της λειτουργίας του. Στη συνέχεια,παρουσιάζει μια ολοκληρωμένη ανασκόπηση των θεμελιωδών αρχών της Θεωρίας ΑπόκρισηςΣτοιχείων και την προσαρμογή της στην αξιολόγηση των οικονομικών δεδομένων. Το τμήμα μεθοδολογίας περιγράφει τη διαδικασία συλλογής δεδομένων, τη διατύπωση στοιχείων και τιςστατιστικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση. Παρουσιάζονται εμπειρικά ευρήματα από αυτήν την έρευνα, παρουσιάζοντας τα πιθανά οφέληαπό την εφαρμογή της Θεωρίας Απόκρισης Στοιχείων στην αξιολόγηση των δεδομένων της χρη- ματιστηριακής αγοράς. Εξαιτίας της σύνδεσης της Σήτησης και τιμής, οι δείκτες χρησιμοποιούνται ως μέτρο σύγκρισης για να είναι εφικτή μια αξιολόγηση εταιριών με ίδιο εμπόρευμα, καιπιο συγκεκριμένα στη περίπτωση μας εταιρειών που εμπορεύονται φαρμακευτικά προιόντα. Τα ευρήματα που προκύπτουν περιλαμβάνουν βελτιωμένη ακρίβεια πρόβλεψης της αξίας, τηςσταθερότητα και του κινδύνου των δεικτών των φαρμακευτικών εταρειών. Συμπερασματικά, η παρούσα διατριβή συμβάλλει στο αναδυόμενο πεδίο εφαρμογής τεχνικώνψυχομετρικής μέτρησης στην ανάλυση οικονομικών δεδομένων. Οι γνώσεις που αποκτήθηκαναπό αυτήν την έρευνα έχουν τη δυνατότητα να φέρουν επανάσταση στις διαδικασίες λήψηςαποφάσεων στον τομέα των επενδύσεων στο χρηματιστήριο και της διαχείρισης χρηματοοικονομικού κινδύνου.Item Open Access Ανάλυση και πρόβλεψη χρονοσειρών με χρήση των τιμών κλεισίματος και του όγκου συναλλαγών του δείκτη NASDAQ(2024-06) Αργυρού, Χρυσούλα; Argyrou, ChrysoulaΗ παρούσα διπλωματική εργασία διερευνά τη συμπεροφορά ενός νέου συνόλου δεδομένων που προέρχεται από τον χρηματιστηριακό δείκτη NASDAQ μέσω της ανάλυσης χρονοσειρών.Το σύνολο δεδομένων κατασκευάζεται πολλαπλασιάζοντας τις ημερήσιες τιμές κλεισίματος του δείκτη NASDAQ με τον αντίστοιχο όγκο του δημιουργώντας μια νέα χρονοσειρά. Η μελέτη χρησιμοποιεί διάφορες τεχνικές εξομάλυνσης, συμπεριλαμβανομένων των κινητών μέσων και της εκθετικής εξομάλυνσης, για να διακρίνει τις υποκείμενες τάσεις και μοτίβα στα δεδομένα. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται μεθοδολογίες πρόβλεψης,όπως η μέθοδος Holt-Winters και η εύρεση ακροτάτου, για την πρόβλεψη μελλοντικών τιμών μετά από κάποιο χρονικό διάστημα.Τέλος,το σύνολο δεδομένων υφίσταται ανάλυση ομαδοποίησης βάσει του όγκου συναλλαγών για τον εντοπισμό διακριτών ομάδων ή συστάδων εντός του δείκτη NASDAQ. Μέσα από μια ολοκληρωμένη εξέταση αυτών των προσεγγίσεων, παρουσιάζονται σημαντικές πληροφορίες τόσο για τον δείκτη NASDAQ όσο και για την νέα χρονοσειρά,παρέχοντας πολύτιμα συμπεράσματαItem Open Access Πρόβλεψη ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας με χρήση μεθόδων χρονοσειρών(2024-01-12) Δελαπόρτας, Διονύσιος; Delaportas, DionysiosΗ παρούσα διπλωματική εργασία εστιάζει στην πρόβλεψη της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας τόσο σε επίπεδο συστήματος στην Ελλάδα αλλά και συνολικά, χρησιμοποιώντας μεθόδους ανάλυσης χρονοσειρών. Στον κόσμο των αυξανόμενων αναγκών για βιώσιμη και αποδοτική χρήση ενέργειας, η ακρίβεια στην πρόβλεψη της ζήτησης είναι κρίσιμη για την εξασφάλιση της σταθερότητας και της αξιοπιστίας του ενεργειακού δικτύου. Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιαίτερες ανάγκες της Ελλάδας, όπως οι αυξημένες απαιτήσεις ενέργειας κατά τη διάρκεια της τουριστικής περιόδου και οι γεωγραφικές ιδιαιτερότητες, η έρευνα αυτή επιχειρεί να προσφέρει μια αξιόπιστη λύση για την πρόβλεψη της ζήτησης. Η μεθοδολογία βασίζεται στην ανάλυση χρονοσειρών, μια τεχνική που επιτρέπει την εκτίμηση και πρόβλεψη μελλοντικών δεδομένων βάσει προηγούμενων παρατηρήσεων. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται σύντομη παρουσίαση του τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας στην Ελλάδα, ενώ στη συνέχεια αναπτύσσονται τα βασικά θεωρητικά στοιχεία της ανάλυσης χρονοσειρών καθώς επίσης και κάποιες μέθοδοι πρόβλεψης. Τέλος παρουσιάζεται η εφαρμογή των μεθόδων χρονοσειρών που αναφέρθηκαν σε δεδομένα ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας με χρήση της γλώσσας R.Item Open Access Εφαρμογή του διωνυμικού γενικευμένου γραμμικού μοντέλου και της λογιστικής παλινδρόμησης στην εντομολογία(2024-02-16) Πετρούτσου, Παναγιώτα; Petroutsou, PanagiotaΗ παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει και συγκρίνει δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για την ανάλυση και πρόβλεψη δεδομένων στο πεδίο της εντομολογίας. Συγκεκριμένα, ερευνά τη σύγκριση μεταξύ του διωνυμικού γενικευμένου μοντέλου και της λογιστικής παλινδρόμησης, εξετάζοντας την αποτελεσματικότητα και την ακρίβεια τους στην πρόβλεψη εντομολογικών δεδομένων. Τα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα και η Λογιστική Παλινδρόμηση είναι δύο διαφορετικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν τις σχέσεις μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής και μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Και τα δύο μοντέλα ανήκουν στην κατηγορία των γενικευμένων μοντέλων, που επιτρέπουν πιο ευέλικτες συναρτήσεις σύνδεσης και μπορούν να αντιμετωπίσουν καταστάσεις όπου τα δεδομένα δεν κατανέμονται κανονικά. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται εκτενώς η θεωρία των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων. Περιγράφονται οι μαθηματικές βάσεις των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων και εξηγείται πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση δεδομένων με μη-κλασικά χαρακτηριστικά, αντιμετωπίζοντας περιπτώσεις όπου οι παραδοχές του κλασικού γραμμικού μοντέλου δεν είναι επαρκείς και παρέχοντας το θεωρητικό υπόβαθρο των μεθόδων που θα εξεταστούν. Στο δεύτερο κεφάλαιο, δίνεται έμφαση στο διωνυμικό γενικευμένο γραμμικό μοντέλο. Αναλύονται οι βασικές αρχές του μοντέλου και εξηγείται ο τρόπος με τον οποίο μπορεί να εφαρμοστεί για την πρόβλεψη δεδομένων που ακολουθούν μη-κανονικές κατανομές, όπως τα διωνυμικά δεδομένα. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στη λογιστική παλινδρόμηση, μια μέθοδο προβλεπτικής ανάλυσης. Παρουσιάζεται η θεωρητική βάση και οι αρχές της λογιστικής παλινδρόμησης, επισημαίνοντας πώς αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση και πρόβλεψη κατηγορικών δεδομένων και αναδεικνύοντας τον ρόλο της στην εξήγηση πολύπλοκων φαινομένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται μια ανασκόπηση των ομοιοτήτων και των διαφορών μεταξύ των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων, του διωνυμικού γενικευμένου μοντέλου και της λογιστικής παλινδρόμησης. Αυτό παρέχει μια ενδελεχή αντίληψη των ισχυρών σημείων και των περιορισμών κάθε μεθόδου. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η χρήση του διωνυμικού γενικευμένου γραμμικού μοντέλου και της λογιστικής παλινδρόμησης στην εντομολογία. Συγκεκριμένα, εξετάζεται πώς τα διάφορα στελέχη αντιδρούν στο θερμοκρασιακό στρες στα στάδια του κύκλου ζωής της μεσογειακής μύγας, (εκκόλαψη, βομβυκίωση και ανάδυση ενηλίκων) και αν υπάρχει διαφορά μεταξύ των στελέχων όσον αφορά τη γενετική σταθερότητα (αναμενόμενοι και μη αναμενόμενοι γενότυποι).Item Open Access Ολοκληρωσιμότητα συστημάτων Lotka–Volterra(2024-01-11) Καραμήτσιος, Μάριος Αθανάσιος; Karamitsios, Marios AthanasiosΑντικείμενο μελέτης της παρούσας εργασίας αποτελούν τα συστήματα Lotka–Volterra και η ολοκληρωσιμότητά τους. Το σύστημα Lotka–Volterra εισήχθη ανεξάρτητα από τους Lotka και Volterra ως μοντέλο θηρευτή-θηράματος. ΄Εκτοτε έχουν εξεταστεί πολλές γενικεύσεις με εφαρμογές σε διάφορους επιστημονικούς κλάδους. Τα συστήματα αυτά εμφανίζουν γενικά πλούσια δυναμική συμπεριφορά, η οποία ποικίλει ανάλογα με τις παραμέτρους που ορίζουν το καθένα από αυτά. Για παράδειγμα υπάρχουν συστήματα Lotka–Volterra Χαμιλτονιανά και μη Χαμιλτονιανά καθώς επίσης και ολοκληρώσιμα, μη ολοκληρώσιμα και χαοτικά. Από την άποψη της ολοκληρωσιμότητας διάφορα είδη γενικευμένων συστημάτων Lotka–Volterra έχουν μελετηθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία. Εμείς θα μελετήσουμε την ολοκληρωσιμότητα μίας συγκεκριμένης κλάσης γενικευμένων συστημάτων Lotka–Volterra. Για το σκοπό αυτό, η μεταπτυχιακή εργασία αποτελείται από δύο μέρη και συνολικά από τέσσερα κεφάλαια. Το Μέρος Α, το οποίο αποτελείται από τα Κεφάλαια 1 και 2, περιέχει τις σημαντικότερες προαπαιτούμενες γνώσεις που χρησιμοποιούνται στο Μέρος Β. Το Μέρος Β, το οποίο αποτελείται από το Κεφάλαιο 3, περιέχει την παρουσίαση ερευνητικής εργασίας σε συγκεκριμένη οικογένεια συστημάτων τύπου Lotka–Volterra, ενώ το Κεφάλαιο 4 συνοψίζει τη μελέτη μας και δίνει νέες προοπτικές ενασχόλησης στο συγκεκριμένο θέμα. Ειδικότερα, στο Κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποιες βασικές, για την μελέτη μας, έννοιες της γεωμετρίας Poisson, ενώ στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε σημαντικές έννοιες ολοκληρωσιμότητας, οι οποίες θα μας χρειαστούν αργότερα. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε μία συγκεκριμένη κλάση γενικευμένων συστημάτων Lotka–Volterra και μελετούμε την ολοκληρωσιμότητά τους. Τέλος, κλείνουμε με το Κεφάλαιο 4 στο οποίο παραθέτουμε υλικό για περαιτέρω μελέτη επί του θέματος.Item Open Access Θεωρήματα εμφύτευσης και προσέγγισης του Whitney(2023-11-14) Μιχαλόπουλος, Θεμιστοκλής; Michalopoulos, ThemistoklesΗ διαφορική τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος προσπαθεί να ταξινομήσει τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες ως προς διαφορομορφισμούς. Για τον σκοπό αυτό έχουν δημιουργηθεί διάφορες αναλλοίωτες ως προς διαφορομορφισμούς. Τα θεωρήματα εμφύτευσης και προσέγγισης του Whitney αποτελούν το υπόβαθρο για την ομαλή ανάπτυξη αυτής της θεωρίας. Στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η απόδειξη αυτών των θεωρημάτων. Ειδικότερα όσον αφορά το θεώρημα εμφύτευσης του Whitney θα αποδείξουμε την ασθενή εκδοχή αυ τού. Η απόδειξη θα γίνει με χρήση των ασθενών και ισχυρών τοπολογιών στον χώρο των διαφορίσιμων συναρτήσεων.Item Open Access Τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων(2023-11-24) Μπέκα, Ανδριανή Γεωργία; Mpeka, Andriani GeorgiaΣτην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται τοπολογίες στο σύνολο των συνεχών συναρτήσεων C(Y, Z) από έναν τοπολογικό χώρο Y σε έναν τοπολο- γικό χώρο Z. Δίνονται ορισμοί και βασικά θεωρήματα για τη συμπαγή - ανοικτή τοπολο- γία, τη σημειακή - ανοικτή τοπολογία, και την τοπολογία Isbell. Επίσης γίνεται αναφορά στη Scott τοπολογία καθώς και στη σύνδεση αυτής με την Isbell τοπολογία. Τέλος, δίνεται ο ορισμός της σύγκλισης δικτύων πάνω στο χώρο των συνε- χών συναρτήσεων C(Y, Z), καθώς και οι συνθήκες με τις οποίες μια τοπολογία στο σύνολο αυτό είναι διαχωριστική ή συνδετικά συνεχής.Item Open Access ́Αλγεβρα οκτωνίων και γεωμετρικά αποτελέσματα(2023-06-19) Σιώκος, Γεώργιος; Siokos, GeorgiosΣτην εργασία αυτή, παρουσιάζεται πρωτίστως ο πρόδρομος για την μετέπειτα ανάπτυξη του κυρίου θέματος, της άλγεβρας των οκτωνίων. Αφού δοθούν αναλυτικά οι απαραίτητοι ορισμοί, καθώς και η κατασκευαστική μέθοδος των οκτωνίων, το πρώτο κεφάλαιο ολοκληρώνεται με τη διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Hurwitz και ενός πορίσματος αυτού. Στη συνέχεια, αποτυπώνεται ο ορισμός των αλγεβρών Lie, παραδείγματα αυτών, καθώς επίσης σκιαγραφείται η ιδέα περί της ταξινόμησης των απλών αλγεβρών Lie. Επιπροσθέτως, ορίζονται επεξηγηματικά οι ασυνήθιστες ομάδες Lie, ενώ δίνεται έμφαση στη γεωμετρία της ομάδας Lie G2. Το Κεφάλαιο 2 τελειώνει με ιδιαίτερη αναφορά στους αυτομορφισμούς των οκτωνίων. Τέλος, περιγράφεται η κατασκευή της απεικόνισης του Hopf, τίθενται γενικές παρατηρήσεις και ερωτήματα, ενώ ταυτόχρονα δεν παραλείπεται η διασύνδεση αυτών με τα οκτώνια . Το Κεφάλαιο 3 κλείνει με την επίδειξη δύο κατασκευαστικών τρόπων των νηματικών δεσμών στα οκτώνια.Item Open Access Ανάλυση και πρόβλεψη χρονοσειρών με δεδομένα εποχικής γρίπης(2023-05-30) Κοσμά, Γεωργία; Kosma, GeorgiaΗ Ανάλυση Χρονοσειρών είναι η χρήση μεθόδων που στοχεύουν στον προσδιορισμό της φύσης ενός φαινομένου και στη δημιουργία μοντέλων πρόγνωσης. Μέσα από την ανάλυση και την πρόβλεψη χρονοσειρών, ένας επιστήμονας μπορεί να εξάγει συμπεράσματα για το μέλλον βασιζόμενος σε παρελθοντικά δεδομένα, με στόχο την έγκαιρη λήψη αποφάσεων. Στα πρώτα κεφάλαια της εργασίας εξετάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο με σκοπό την κατανόηση βασικών εννοιών των χρονοσειρών για την ανάλυσή τους. Στη συνέχεια, αναλύονται διάφοροι μέθοδοι πρόβλεψης και τέλος, γίνεται εφαρμογή στην γλώσσα προγραμματισμού R ιατρικών δεδομένων τα οποία έχουν αντληθεί από τον Εθνικό Οργανισμό Δημόσιας Υγείας (ΕΟΔΥ) με χρήση μοντέλων ARIMA.Item Open Access Αναγνώριση ηλικίας και φύλου μέσω εικόνων με τη χρήση βαθιάς μάθησης(2023-07-20) Πιστιόλη, Αικατερίνη; Pistioli, AikateriniΗ παρούσα διπλωματική εργασία διερευνά τη χρήση τεχνικών βαθιάς μάθησης για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου μέσω εικόνων. Στόχος της είναι η ανάπτυξη ενός ακριβούς μοντέλου που μπορεί να προβλέψει αποτελεσματικά την ηλικία και το φύλο ατόμων με βάση τα χαρακτηριστικά του προσώπου τους. Η προτεινόμενη προσέγγιση βασίζεται στη χρήση συνελικτικών νευρωνικών δικτύων (CNN) για την εξαγωγή χαρακτηριστικών από τις εικόνες εισόδου και έναν ταξινομητή softmax για την πρόβλεψη της ηλικίας και του φύλου. Τα CNN είναι αποδοτικά στην αναγνώριση μοτίβων σε εικόνες και επιτρέπουν στο μοντέλο να μάθει τα χαρακτηριστικά που είναι σημαντικά για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου. Προκειμένου να βελτιωθεί η απόδοση του μοντέλου, χρησιμοποιούνται τεχνικές αύξησης δεδομένων, όπως η κλιμάκωση εικόνων. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης προσέγγισης για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου ατόμων μέσω εικόνων, η οποία αποτελεί μια πολύ σημαντική διεπιστημονική πρόκληση, καθώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλούς τομείς, όπως η ασφάλεια, η ιατρική, η επιστήμη των υπολογιστών και η βιομηχανία.Item Open Access Hilbert C*-Πρότυπα(2023-08-29) Λιάπης, Αριστείδης; Liapis, AristeidisΣτην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε την βασική θεωρία των C*-προτύπων Hilbert, τα οποία είναι γενίκευση των χώρων Hilbert. Στα C*-πρότυπα Hilbert το ‘εσωτερικό’ γινόμενο θα ορίζεται πάνω σε μια τυχαία C*-άλγεβρα και όχι στο χώρο των μιγαδικών αριθμών. Η γενική θεωρία για τα πρότυπα Hilbert εμφανίστηκε γύρω στο 1973 στις εργασίες των W.Paschke και M.Rieffel. Αρχικά δίνουμε κάποια βασικά στοιχεία για την έννοια των C*-αλγεβρών οι οποίες κατέχουν πρωτεύοντα ρόλο στην μελέτη των Hilbert C*-πρότυπων. Επίσης εισερχόμαστε στην έννοια του pre-Hilbert C*-προτύπου βλέποντας παραδείγματα και δίνοντας ιδιότητες που θα μας φανούν οικείες με αυτές των χώρων Hilbert. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό του Hilbert C*-προτύπου που ακολουθείτε από παραδείγματα τα οποία έχουν ως απόρροια τον ορισμό του βασικού Hilbert Α-προτύπου H_A, όπου Α μια C*-άλγεβρα . Αποδεικνύουμε το θεώρημα Kasparov Stabilization το οποίο μας δίνει ένα σημαντικό αποτέλεσμα για το H_A και ύστερα βλέπουμε μια σχέση ισοδυναμίας για τις C*-άλγεβρες την ισχυρή Morita ισοδυναμία από την οποία επάγονται σημαντικά αποτελέσματα. Τέλος μελετάμε χώρους τελεστών και συμπαγών τελεστών αλλά και τον δυϊκό χώρο ενός Hilbert C*-προτύπου.Item Open Access Γενετικοί αλγόριθμοι και εφαρμογές σε συνδυαστικά προβλήματα(2023-10-03) Νίκας, Παναγιώτης; Nikas, PanagiotisΣτην παρούσα διπλωματική γίνεται μια αναλυτική έρευνα στην χρησιμότητα των γενετικών αλγορίθμων για την επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων. Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση της βασικής δομής των γενετικών αλγορίθμων και των θεμελιωδών στοιχείων τους. Αυτή περιλαμβάνει την ανάλυση των διάφορων τελεστών κωδικοποίησης, επιλογής, διασταύρωσης και μετάλλαξης με παραδείγματα για την κατανόηση τους. Αυτή η εισαγωγή αποτελεί τις προαπαιτούμενες γνώσεις για την σύγκριση των γενετικών αλγορίθμων με άλλες καθιερωμένες μεθόδους. Η σύγκριση γίνεται σε τρία κλασσικά συνδυαστικά προβλήματα: Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή , το πρόβλημα του σακιδίου και το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας . Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή αποτελεί ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης που αφορά την εύρεση της συντομότερης διαδρομής που μπορεί να επιλέξει ένας πωλητής έτσι ώστε να επισκέπτεται ένα σύνολο πόλεων ακριβώς μια φορά και να επιστρέφει στην αρχική. Αρχικά γίνεται η παρουσίαση κάποιων μεθόδων για την ακριβή επίλυση του προβλήματος και στην συνέχεια κάποιων ευρετικών αλγορίθμων. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ο γενετικός αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή και γίνεται μία σύγκριση μεταξύ των μεθόδων. Στην σύγκριση παρατηρούνται οι περιορισμοί των ακριβών μεθόδων επίλυσης του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή λόγο του υψηλού υπολογιστικού κόστος τους. Τέλος γίνεται σύγκριση μεταξύ των γενετικών αλγορίθμων και των δύο ευρετικών αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν: του αλγορίθμου του πλησιέστερου γείτονα και του άπληστου αλγορίθμου. Το πρόβλημα του σακιδίου αποτελεί ένα άλλο κλασσικό πρόβλημα βελτιστοποίησης, στην βασική του μορφή δίνεται ένα σύνολο αντικειμένων με συγκεκριμένο βάρος και αξία. Στόχος είναι η επιλογή των αντικειμένων έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική αξία των αντικειμένων στο σακίδιο και το συνολικό βάρος να μην ξεπερνάει την μέγιστη χωρητικότητα του σακιδίου. Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση των παραλλαγών του προβλήματος του σακιδίου και εφαρμόζονται δύο ακριβείς αλγόριθμοι, ο εξαντλητικός αλγόριθμος και ο αλγόριθμος δυναμικού προγραμματισμού, για την επίλυση της βασικής μορφής του προβλήματος. Ενώ οι ακριβείς αλγόριθμοι εγγυούνται την εύρεση της βέλτιστης λύσης η πολυπλοκότητα τους τους κάνει ακατάλληλους για την επίλυση μεγάλων περιπτώσεων του προβλήματος του σακιδίου. Στην συνέχεια αναλύεται ο άπληστος αλγόριθμος για το πρόβλημα του σακιδίου και γίνεται η σύγκριση του με έναν γενετικό αλγόριθμο που αναπτύχθηκε για το πρόβλημα Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας αντιπροσωπεύει ένα ακόμα σημαντικό συνδυαστικό πρόβλημα που αναλύεται σε αυτήν την εργασία. Το πρόβλημα αφορά την εύρεση μιας ανάθεσης τιμών σε ένα σύνολο μεταβλητών έτσι ώστε μία συνάρτηση σε μορφή Boole να ικανοποιείται. Οι αλγόριθμοι για την επίλυση του χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Τους πλήρεις αλγορίθμους που εγγυούνται την εύρεση ανάθεσης μεταβλητών που να ικανοποιεί την συνάρτηση ή διαφορετικά την απόδειξη ότι η συνάρτηση είναι μη ικανοποιήσιμη. Επιπλέον, υπάρχουν και οι ημιτελείς αλγόριθμοι που δεν μπορούν να αποδείξουν αν μια συνάρτηση είναι μη ικανοποιήσιμη όπως οι αλγόριθμοι τοπικής αναζήτησης και οι γενετικοί αλγόριθμοι. Στην συνέχεια γίνεται η ανάπτυξη ενός γενετικού αλγορίθμου για την επίλυση προβλημάτων ικανοποιησιμότητας και σύγκριση μεταξύ των αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο σε τυχαίες περιπτώσεις του 3-SAT. Οι γενετικοί αλγόριθμοι αποτελούν μια καλή επιλογή για την επίλυση των τριών συνδυαστικών προβλημάτων που αναπτύχθηκαν στην εργασία. Η ικανότητα τους να εξερευνούν ένα μεγάλο μέρος του χώρου των λύσεων τους δίνει την δυνατότητα να βρίσκουν την βέλτιστη λύση ή καλές προσεγγίσεις τις βέλτιστης λύσης συχνά. Η ευελιξία των γενετικών αλγορίθμων τους δίνει την δυνατότητα να εφαρμοστούν σε πληθώρα προβλημάτων και τις παραλλαγές τους με ελάχιστες αλλαγές. Συμπερασματικά οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι ένα καλό εργαλείο γενικής χρήσεως για συνδυαστικά προβλήματα με εντυπωσιακή επίδοσηItem Open Access Νευρωνικά δίκτυα γράφων και εφαρμογές(2023-10-03) Σολωμός, Γεώργιος; Solomos, GeorgiosΤα Νευρωνικά Δίκτυα Γράφων (GNNs) έχουν αναδυθεί ως ένα ισχυρό παράδειγμα για την αντιμετώπιση περίπλοκων εργασιών σε δεδομένα που έχουν δομή γράφου, όπως η κατηγοριοποίηση κόμβων και η πρόβλεψη συνδέσμων. Αυτή η διπλωματική διερευνά λεπτομερώς διάφορα προηγμένα μοντέλα και μεθοδολογίες GNNs, με στόχο να αντιμετωπίσει τις προκλήσεις που προκύπτουν στην ανάλυση δεδομένων βασισμένων σε γράφους. Η μελέτη ξεκινά με την εξερεύνηση δημοφιλών αρχιτεκτονικών GNN, συμπεριλαμβανομένου των Συνελικτικών Δικτύων σε Γράφους (GCNs), των Δικτύων Προσοχής Γράφων (GATs) και των Συνεχών Νευρωνικών Δικτύων σε Γράφους (CGNNs) για την κατηγοριοποίηση κόμβων. Επιπρόσθετα, η διπλωματική εξετάζει το πεδίο της μη επιβλεπόμενης μάθησης, αναλύοντας την μέθοδο Βαθιάς Μεγιστοποίησης Πληροφορίας για μάθηση αναπαραστάσεων σε γράφους (Deep Graph Infomax - DGI). Αυτή η προσέγγιση αξιοποιεί την μεγιστοποίηση της από κοινού πληροφορίας για να παράγει σημαντικές αναπαραστάσεις κόμβων από μη ετικετοποιημένα δεδομένα. Η μέθοδος DGI επιτυχημένα καταγράφει υψηλού επιπέδου αναπαραστάσεις κόμβων και αποτελεί πολύτιμο εργαλείο σε περιπτώσεις που έχουμε περιορισμένης ποσότητας ετικετοποιημένα δεδομένα. Ένα σημαντικό κομμάτι των GNN που διερευνούμε είναι το πρόβλημα του υπερταιριάσματος. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος, εξετάζουμε την μέθοδο PairNorm, η οποία αντιμετωπίζει αποτελεσματικά το υπερταίριασμα διατηρώντας την ποικιλομορφία στις αναπαραστάσεις των κόμβων κατά την επαναληπτική συγκεντρωτική διεργασία των στρωμάτων. Η μέθοδος PairNorm επιτυγχάνει την βελτίωση της ανθεκτικότητας των GNNs σε πολλές διεργασίες. Για την πρόβλεψη συνδέσμων, αξιολογούμε διάφορες ευρετικές μεθόδους, συμπεριλαμβανομένων των πρώτων, δεύτερων και ολικών ευρετικών μεθόδων, καθώς και την δομή SEAL και την προσέγγιση του Γραμμικού Γράφου (Line Graph) για πρόβλεψη συνδέσμων. Κάθε μέθοδος αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της στην πρόβλεψη ακμών στο γράφων με βάση πάντα των συγκεκριμένων απαιτήσεων της κάθε εργασίας. Επιπρόσθετα, παρουσιάζουμε την έννοια των Μεταβλητών Αυτόματων Κωδικοποιητών σε Γράφους (VGAEs), ένα γενετικό μοντέλο που σχεδιάστηκε για να μαθαίνει αποτελεσματικά τις κρυφές αναπαραστάσεις των κόμβων. Η ανάλυση μας δείχνει την ικανότητα των VGAEs να καταγράψουν την υποκείμενη δομή του γράφου και τις δυνατότητες τους σε εφαρμογές όπως η πρόβλεψη συνδέσμων. Για να επιβεβαιώσουμε την θεωρητική μας μελέτη, υλοποιούμε τις μεθόδους GCNs, GATs, DGI και VGAEs με χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Python. Συνοψίζοντας, αυτή η διπλωματική συμβάλλει στην προαγωγή των GNNs παρέχοντας μια σφαιρική ανάλυση των προηγμένων μοντέλων και μεθοδολογιών για την κατηγοριοποίηση κόμβων και την πρόβλεψη συνδέσμων. Τα ευρήματα της έρευνας αναδεικνύουν τα πλεονεκτήματα και τους περιορισμούς διαφόρων παραλλαγών GNN, ανοίγοντας το δρόμο για μελλοντικές προκλήσεις και βελτιώσεις σε αυτόν τον γρήγορα εξελισσόμενο τομέα.Item Open Access Ολοκληρωσιμότητα του συστήματος τριών σημειακών δινών(2023-08-28) Δήμας, Κωνσταντίνος; Dimas, KonstantinosΣτην παρούσα εργασία μελετάται η ολοκληρωσιμότητα του συστήματος τριών σημειακών δινών. Το σύστημα των συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση Ν το πλήθος σημειακών δινών στο επίπεδο προκύπτει από τις εξισώσεις της μηχανικής ρευστών μετά από παραδοχές που επιτρέπουν να θεωρούμε ως σημειακή την θέση κάθε δίνης. Εξετάζεται η δομή Poisson με την Χαμιλτονιανή και τις διατηρούμενες ποσότητες, οι οποίες στην περίπτωση μικρού αριθμού δινών καθιστούν το σύστημα των εξισώσεων κίνησης πλήρως ολοκληρώσιμο κατά Liouville. Ειδικότερα μελετάται η περίπτωση Ν = 3 όπου γίνεται εφαρμογή τριγραμμικού συστήματος συντεταγμένων στο επίπεδο.Item Open Access Pursuit curves(2023-10-10) Χαβιαρόπουλος, Παναγιώτης; Chaviaropoulos, PanagiotisThis diploma thesis focuses on pursuit curves, a sector of Ordinary Differential Equations and it consists of five chapters. In the first chapter we present the subject of pursuit curves and we give a short historic development of the subject. In the second chapter we study the curve that a swimmer follows when crossing a river that flows with constant velocity, aiming at a specific point at the opposite bank. The third chapter focuses on the curve that a pirate ship follows when it chases a merchant vessel that moves on a straight line with constant velocity. Historically it was the first pursuit curve described mathematically (with the aid of differential equations), in 1732 by the French mathematician Pierre Bouguer. The fourth chapter deals with a problem posed by Arthur S. Hathaway in 1920 in which a dog chases a duck that swims with constant velocity on the circumference of a circular lake. In the original version of the problem the dog starts at the center of the lake. In this chapter however we also study curves that are produced when the dog has alternative starting positions. In the fifth and final chapter we summarize the main conclusions of this thesis.Item Open Access Ο τύπος του ίχνους (trace formula) του Selberg σε συμπαγείς επιφάνειες Riemann(2023-09-24) Λυμπέρη, Στυλιανή; Lymperi, StylianiΚεντρικός σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της trace formula του Selberg στην περίπτωση των συμπαγών επιφανειών Riemann. Το Θεώρημα αυτό αποδείχθηκε πρώτη φορά από τον Selberg το 1956 και υπήρξε ένα από τα κεντρικότερα θεωρήματα της θεωρίας αριθμών κατά τον 20ο αιώνα. Εν γένει, από την σύγχρονη σκοπιά μία trace formula είναι ένας τύπος που συσχετίζει την γεωμετρία κάποιου χώρου (όπως μίας πολλαπλότητας) με φασματική πληροφορία τελεστών που ορίζονται πάνω σε αυτόν τον χώρο (όπως ο τελεστής Laplace). Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε καλύτερα το ιστορικό υπόβαθρο του αποτελέσματος του Selberg, στο 1ο Κεφάλαιο ξεκινάμε την μελέτη μας από την κλασική Ευκλείδεια αρμονική ανάλυση (σειρές Fourier και ολοκλήρωμα Fourier) και τον τύπο άθροισης του Poisson, ο οποίος υπήρξε το κλασικό αρχέτυπο των trace formulas. Στο 2ο Κεφάλαιο, για να μπορέσουμε να περιγράψουμε τις συμπαγείς επιφάνειες Riemann, αναπτύσ σουμε την βασική θεωρία των ομάδων Fuchsian του δευτέρου είδους που δρουν στο υπερβολικό επίπεδο H2 και περιγράφουμε μερικά σημαντικά παραδείγματα. Στην συνέχεια, στο 3ο Κεφάλαιο μελετάμε τα βασικά στοιχεία της φασματικής θεωρίας του τελεστή Laplace στις επιφάνειες Riemann. Ειδικότερα, μελετάμε τον μετασχηματισμό Selberg/Harish-Chandra, το φασματικό Θεώρημα για συμπαγείς επιφάνειες Riemann καθώς και την pre-trace formula. Στο 4ο και τελευταίο Κεφάλαιο διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την trace formula του Selberg στην ειδική περίπτωση των υπερβολικών ομάδων. Τέλος, ως πόρισμα του τύπου του Selberg αποδεικνύουμε τον νόμο του Weyl για συμπαγείς επιφάνειες Riemann.