Τμήμα Μαθηματικών (ΔΕ)

Permanent URI for this collection

Browse

Recent Submissions

Now showing 1 - 5 of 23
  • Thumbnail Image
    Item
    Open Access
    Αλγοριθμική πιστοποίηση πρώτων αριθμών
    (2022-07-21) Σταμάτης, Βασίλειος; Stamatis, Vasileios
    Το πρόβλημα της πιστοποίησης πρωτείας (πιστοποίηση ενός φυσικού αριθμού ως πρώτου) είναι ένα αντικείμενο το οποίο απασχολούσε τους μαθηματικούς, από τα αρχαία χρόνια. Με την «γέννηση» της επιστήμης των υπολογιστών, τον προηγούμενο αιώνα, δόθηκε έναυσμα στους επιστήμονες, να ερευνήσουν και να κατασκευάσουν «γρήγορους» αλγορίθμους που πιστοποιούν πρώτους. Στην διπλωματική εργασία αυτή, παρουσιάζονται διάφοροι αλγόριθμοι πιστοποίησης πρωτείας ή συνθετότητας. Οι αλγόριθμοι αυτοί συγκρίνονται ως προς την ταχύτητα τους, τον χώρο που απαιτούν υπολογιστικά και την πιθανότητα σφάλματος τους. Παρουσιάζονται και αποδεικνύονται θεωρήματα και διάφορα λήμματα της θεωρίας αριθμών που απαιτούνται, κατά κύριο λόγο, στην απόδειξη ορθότητας των αλγορίθμων.
  • Thumbnail Image
    Item
    Open Access
    Τοπολογικά δυναμικά συστήματα
    Ασημακόπουλος, Σωτήριος; Asimakopoulos, Sotirios
    Στην παρούσα εργασία θα γίνει μελέτη των τοπολογικών δυναμικών συστήματων. Τα τοπολογικά δυναμικά συστήματα είναι ουσιαστικά δυναμικά συστήματα τα οποία μελετώνται από την σκοπιά της τοπολογίας. Εμάς αυτό που θα μας απασχολήσει κυρίως είναι η συμπεριφορά αυτών των συστημάτων σε διακριτό χρόνο. Οι ιδιότητες του τελεστή και του χώρου στον οποίο ορίζεται το σύστημα είναι καθοριστικές για την εξέλιξη του συστήματος. Αυτό που θα μας παραξενέψει είναι ότι ο τελεστής, ο οποίος δρα στα στοιχεία του χώρου, δεν είναι απαραίτητα γραμμικός. Ωστόσο αυτό, όπως θα δούμε, δεν αποτελεί πρόβλημα για να “προβλέψουμε” την εξέλιξη του συστήματος. Θεμελιώδεις έννοιες και ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος, όπως η έννοια της τοπολογικής μεταβατικότητας, του χαοτικού συστήματος και των mixing και weakly mixing απεικονίσεων ορίζονται με έναν φυσικό τρόπο και παρουσιάζονται με παραδείγματα. Το θεώρημα της μεταβατικότητας του Birkhoff έρχεται να μας δώσει κάποιες ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το δυναμικό σύστημα το οποίο μελετάμε να είναι τοπολογικά μεταβατικό. Επιπλέον δίνουμε ορισμένους χαρακτηρισμούς για τις weakly mixing απεικονίσεις, οι οποίες βρίσκουν εκατοντάδες εφαρμογές στην Φυσική και όχι μόνο. Τέλος, αναδεικνύουμε την ομορφιά και την αξία της γεωμετρίας των fractals και αποδεικνύουμε τις ιδιότητες ενός πολύ σημαντικού fractal συνόλου, του Mandelbrot Set.
  • Thumbnail Image
    Item
    Open Access
    Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας
    Μακρής, Παναγιώτης; Makris, Panagiotis
    Η εργασία πραγματεύεται ζητήματα Προβολικής Γεωμετρίας, τα οποία θα προσεγγιστούν μέσω της Γραμμικής Άλγεβρας. Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η έννοια του προβολικού χώρου ως το σύνολο όλων των μονοδιάστατων διανυσματικών υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου. Στη συνέχεια, εισάγονται οι προβολικοί μετασχηματισμοί μέσω των οποίων αποδεικνύονται τα δύο βασικά θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας, το θεώρημα Desargues και το θεώρημα του Πάππου. Στη συνέχεια, μελετάται μια από τις σημαντικότερες έννοιες της Προβολικής Γεωμετρίας, η αρχή του Δυϊσμού. Μια έννοια από την οποία θα φανεί η ανωτερότητα της Προβολικής Γεωμετρίας από την Ευκλείδεια. Εν συνεχεία, ορίζονται οι επίπεδες προβολικές καμπύλες σε ένα προβολικό επίπεδο και τα ομογενή πολυώνυμα ώστε να επιτευχθεί η ταξινόμηση των αλγεβρικών καμπυλών δευτέρου βαθμού (κωνικές τομές) επί του προβολικού επιπέδου. Τέλος, αναλύονται οι κυβικές καμπύλες με σκοπό τον ορισμό των ελλειπτικών καμπυλών ώστε να παρουσιαστεί η εφαρμογή τους στα κρυπτοσυστήματα ελλειπτικής κρυπτογραφίας.
  • Thumbnail Image
    Item
    Open Access
    Ανάλυση αποτελεσματικότητας του τραπεζικού τομέα και βιώσιμη χρηματοδότηση
    Παπαθανασοπούλου, Γεωργία; Papathanasopoulou, Georgia
    Ο υπολογισμός απόδοσης των τραπεζών είναι μια ένδειξη για τη λειτουργία τους και για τη βιωσιμότητα του τραπεζικού συστήματος και σαφώς και για την παγκόσμια οικονομία. Στην παρούσα εργασία εκτιμούμε την αποτελεσματικότητα δύο κατηγοριών τραπεζών στη Βόρεια Αμερική για την περίοδο 2002-2016 κάτω από το μεταόριο (Data Envelopment Analysis-DEA). Το δείγμα μας χωρίζεται σε δύο ομάδες ανάλογα με την εξειδίκευση. O στόχος είναι να ελεγχθεί εάν η εξειδίκευσή τους επηρεάζει την απόδοσή τους. Τέλος βλέπουμε την ανάγκη υιοθέτησης της Βιώσιμης Χρηματοδότησης για την επίτευξη των Στόχων της Αειφόρου Ανάπτυξης.
  • Thumbnail Image
    Item
    Open Access
    Κρυπτογραφία και ασφάλεια συστημάτων
    Νείλα, Δανάη-Μαρία; Neila, Danae-Maria
    Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τους πιο δημοφιλείς αλγορίθμους κρυπτογραφίας συμμετρικού και ασύμμετρου κλειδιού, τις επιθέσεις στις οποίες είναι ευάλωτοι και τις εφαρμογές της κρυπτογραφίας στην ασφάλεια πληροφοριακών συστημάτων και ψηφιακών υπογραφών. Ξεκινάμε με μια εισαγωγή στην κρυπτογραφία σχετικά με την ορολογία και τους στόχους, καθώς και τις πολλαπλές εφαρμογές της στην καθημερινή ζωή. Επιπλέον, παρουσιάζουμε μια ιστορική αναδρομή από την πρώιμη εμφάνιση της κρυπτογραφίας στην Αρχαία Ελλάδα μέχρι και τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο. Προχωρώντας, εισάγουμε το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο για να κατανοήσουμε πλήρως τα θέματα που καλύπτονται στην εργασία. Στις επόμενες ενότητες παρουσιάζουμε λεπτομερώς τους κλασικούς και μοντέρνους συμμετρικούς αλγορίθμους. Οι αλγόριθμοι περιλαμβάνουν τους XOR, Caesar, Homoparallel, Vigenere και Permutation στην πρώτη κατηγορία, τους αλγορίθμους ροής όπως οι RC4 και One-Time Pad μαζί με τα Δίκτυα Feistel και τους διάσημους τμηματικούς κρυπταλγορίθμους DES, 3DES, AES και Blowfish στη δεύτερη. Επιπλέον, εισάγουμε τον αναγνώστη στους ελέγχους των Fermat και Miller-Rabin για να συνεχίσουμε στην ανταλλαγή κλειδιών Diffie-Hellman ώστε να περιγράψουμε τελικά τα ασύμμετρα συστήματα των ElGamal, RSA και Elliptic Curve ElGamal. Σε όλους τους αλγορίθμους που καλύπτονται, αναλύουμε την ασφάλειά τους και τις επιθέσεις στις οποίες είναι ευάλωτοι. 'Επειτα, μελετάμε την ασφάλεια των πληροφοριακών συστημάτων και τη βασική ορολογία της, τους κινδύνους, τις επιθέσεις και τις μεθόδους πρόληψής τους. Ταυτόχρονα, περιγράφουμε το πρωτόκολλο SSL και την ασφάλεια του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου χρησιμοποιώντας το λογισμικό PGP, προκειμένου να καταλήξουμε στις ψηφιακές υπογραφές χρησιμοποιώντας τα σχήματα RSA, ElGamal και DSS. Τέλος, δημιουργήσαμε προγράμματα σε Python για τους περισσότερους αλγορίθμους που περιλαμβάνονται κατά μήκος της εργασίας, προκειμένου να επαληθεύσουμε τα παραδείγματά μας σε κάθε κεφάλαιο ενώ χρησιμοποιήσαμε και το Cryptool, ένα δωρεάν εκπαιδευτικό κρυπτογραφικό εργαλείο για να πειραματιστούμε σε διάφορους αλγορίθμους και μηνύματα.