Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
- ItemOpen AccesśΑλγεβρα οκτωνίων και γεωμετρικά αποτελέσματα(2023-06-19)Στην εργασία αυτή, παρουσιάζεται πρωτίστως ο πρόδρομος για την μετέπειτα ανάπτυξη του κυρίου θέματος, της άλγεβρας των οκτωνίων. Αφού δοθούν αναλυτικά οι απαραίτητοι ορισμοί, καθώς και η κατασκευαστική μέθοδος των οκτωνίων, το πρώτο κεφάλαιο ολοκληρώνεται με τη διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Hurwitz και ενός πορίσματος αυτού. Στη συνέχεια, αποτυπώνεται ο ορισμός των αλγεβρών Lie, παραδείγματα αυτών, καθώς επίσης σκιαγραφείται η ιδέα περί της ταξινόμησης των απλών αλγεβρών Lie. Επιπροσθέτως, ορίζονται επεξηγηματικά οι ασυνήθιστες ομάδες Lie, ενώ δίνεται έμφαση στη γεωμετρία της ομάδας Lie G2. Το Κεφάλαιο 2 τελειώνει με ιδιαίτερη αναφορά στους αυτομορφισμούς των οκτωνίων. Τέλος, περιγράφεται η κατασκευή της απεικόνισης του Hopf, τίθενται γενικές παρατηρήσεις και ερωτήματα, ενώ ταυτόχρονα δεν παραλείπεται η διασύνδεση αυτών με τα οκτώνια . Το Κεφάλαιο 3 κλείνει με την επίδειξη δύο κατασκευαστικών τρόπων των νηματικών δεσμών στα οκτώνια.
- ItemOpen AccessΑνάλυση και πρόβλεψη χρονοσειρών με δεδομένα εποχικής γρίπης(2023-05-30)Η Ανάλυση Χρονοσειρών είναι η χρήση μεθόδων που στοχεύουν στον προσδιορισμό της φύσης ενός φαινομένου και στη δημιουργία μοντέλων πρόγνωσης. Μέσα από την ανάλυση και την πρόβλεψη χρονοσειρών, ένας επιστήμονας μπορεί να εξάγει συμπεράσματα για το μέλλον βασιζόμενος σε παρελθοντικά δεδομένα, με στόχο την έγκαιρη λήψη αποφάσεων. Στα πρώτα κεφάλαια της εργασίας εξετάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο με σκοπό την κατανόηση βασικών εννοιών των χρονοσειρών για την ανάλυσή τους. Στη συνέχεια, αναλύονται διάφοροι μέθοδοι πρόβλεψης και τέλος, γίνεται εφαρμογή στην γλώσσα προγραμματισμού R ιατρικών δεδομένων τα οποία έχουν αντληθεί από τον Εθνικό Οργανισμό Δημόσιας Υγείας (ΕΟΔΥ) με χρήση μοντέλων ARIMA.
- ItemOpen AccessΑναγνώριση ηλικίας και φύλου μέσω εικόνων με τη χρήση βαθιάς μάθησης(2023-07-20)Η παρούσα διπλωματική εργασία διερευνά τη χρήση τεχνικών βαθιάς μάθησης για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου μέσω εικόνων. Στόχος της είναι η ανάπτυξη ενός ακριβούς μοντέλου που μπορεί να προβλέψει αποτελεσματικά την ηλικία και το φύλο ατόμων με βάση τα χαρακτηριστικά του προσώπου τους. Η προτεινόμενη προσέγγιση βασίζεται στη χρήση συνελικτικών νευρωνικών δικτύων (CNN) για την εξαγωγή χαρακτηριστικών από τις εικόνες εισόδου και έναν ταξινομητή softmax για την πρόβλεψη της ηλικίας και του φύλου. Τα CNN είναι αποδοτικά στην αναγνώριση μοτίβων σε εικόνες και επιτρέπουν στο μοντέλο να μάθει τα χαρακτηριστικά που είναι σημαντικά για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου. Προκειμένου να βελτιωθεί η απόδοση του μοντέλου, χρησιμοποιούνται τεχνικές αύξησης δεδομένων, όπως η κλιμάκωση εικόνων. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης προσέγγισης για την αναγνώριση ηλικίας και φύλου ατόμων μέσω εικόνων, η οποία αποτελεί μια πολύ σημαντική διεπιστημονική πρόκληση, καθώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλούς τομείς, όπως η ασφάλεια, η ιατρική, η επιστήμη των υπολογιστών και η βιομηχανία.
- ItemOpen AccessHilbert C*-Πρότυπα(2023-08-29)Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε την βασική θεωρία των C*-προτύπων Hilbert, τα οποία είναι γενίκευση των χώρων Hilbert. Στα C*-πρότυπα Hilbert το ‘εσωτερικό’ γινόμενο θα ορίζεται πάνω σε μια τυχαία C*-άλγεβρα και όχι στο χώρο των μιγαδικών αριθμών. Η γενική θεωρία για τα πρότυπα Hilbert εμφανίστηκε γύρω στο 1973 στις εργασίες των W.Paschke και M.Rieffel. Αρχικά δίνουμε κάποια βασικά στοιχεία για την έννοια των C*-αλγεβρών οι οποίες κατέχουν πρωτεύοντα ρόλο στην μελέτη των Hilbert C*-πρότυπων. Επίσης εισερχόμαστε στην έννοια του pre-Hilbert C*-προτύπου βλέποντας παραδείγματα και δίνοντας ιδιότητες που θα μας φανούν οικείες με αυτές των χώρων Hilbert. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό του Hilbert C*-προτύπου που ακολουθείτε από παραδείγματα τα οποία έχουν ως απόρροια τον ορισμό του βασικού Hilbert Α-προτύπου H_A, όπου Α μια C*-άλγεβρα . Αποδεικνύουμε το θεώρημα Kasparov Stabilization το οποίο μας δίνει ένα σημαντικό αποτέλεσμα για το H_A και ύστερα βλέπουμε μια σχέση ισοδυναμίας για τις C*-άλγεβρες την ισχυρή Morita ισοδυναμία από την οποία επάγονται σημαντικά αποτελέσματα. Τέλος μελετάμε χώρους τελεστών και συμπαγών τελεστών αλλά και τον δυϊκό χώρο ενός Hilbert C*-προτύπου.
- ItemOpen AccessΓενετικοί αλγόριθμοι και εφαρμογές σε συνδυαστικά προβλήματα(2023-10-03)Στην παρούσα διπλωματική γίνεται μια αναλυτική έρευνα στην χρησιμότητα των γενετικών αλγορίθμων για την επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων. Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση της βασικής δομής των γενετικών αλγορίθμων και των θεμελιωδών στοιχείων τους. Αυτή περιλαμβάνει την ανάλυση των διάφορων τελεστών κωδικοποίησης, επιλογής, διασταύρωσης και μετάλλαξης με παραδείγματα για την κατανόηση τους. Αυτή η εισαγωγή αποτελεί τις προαπαιτούμενες γνώσεις για την σύγκριση των γενετικών αλγορίθμων με άλλες καθιερωμένες μεθόδους. Η σύγκριση γίνεται σε τρία κλασσικά συνδυαστικά προβλήματα: Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή , το πρόβλημα του σακιδίου και το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας . Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή αποτελεί ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης που αφορά την εύρεση της συντομότερης διαδρομής που μπορεί να επιλέξει ένας πωλητής έτσι ώστε να επισκέπτεται ένα σύνολο πόλεων ακριβώς μια φορά και να επιστρέφει στην αρχική. Αρχικά γίνεται η παρουσίαση κάποιων μεθόδων για την ακριβή επίλυση του προβλήματος και στην συνέχεια κάποιων ευρετικών αλγορίθμων. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ο γενετικός αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή και γίνεται μία σύγκριση μεταξύ των μεθόδων. Στην σύγκριση παρατηρούνται οι περιορισμοί των ακριβών μεθόδων επίλυσης του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή λόγο του υψηλού υπολογιστικού κόστος τους. Τέλος γίνεται σύγκριση μεταξύ των γενετικών αλγορίθμων και των δύο ευρετικών αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν: του αλγορίθμου του πλησιέστερου γείτονα και του άπληστου αλγορίθμου. Το πρόβλημα του σακιδίου αποτελεί ένα άλλο κλασσικό πρόβλημα βελτιστοποίησης, στην βασική του μορφή δίνεται ένα σύνολο αντικειμένων με συγκεκριμένο βάρος και αξία. Στόχος είναι η επιλογή των αντικειμένων έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική αξία των αντικειμένων στο σακίδιο και το συνολικό βάρος να μην ξεπερνάει την μέγιστη χωρητικότητα του σακιδίου. Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση των παραλλαγών του προβλήματος του σακιδίου και εφαρμόζονται δύο ακριβείς αλγόριθμοι, ο εξαντλητικός αλγόριθμος και ο αλγόριθμος δυναμικού προγραμματισμού, για την επίλυση της βασικής μορφής του προβλήματος. Ενώ οι ακριβείς αλγόριθμοι εγγυούνται την εύρεση της βέλτιστης λύσης η πολυπλοκότητα τους τους κάνει ακατάλληλους για την επίλυση μεγάλων περιπτώσεων του προβλήματος του σακιδίου. Στην συνέχεια αναλύεται ο άπληστος αλγόριθμος για το πρόβλημα του σακιδίου και γίνεται η σύγκριση του με έναν γενετικό αλγόριθμο που αναπτύχθηκε για το πρόβλημα Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας αντιπροσωπεύει ένα ακόμα σημαντικό συνδυαστικό πρόβλημα που αναλύεται σε αυτήν την εργασία. Το πρόβλημα αφορά την εύρεση μιας ανάθεσης τιμών σε ένα σύνολο μεταβλητών έτσι ώστε μία συνάρτηση σε μορφή Boole να ικανοποιείται. Οι αλγόριθμοι για την επίλυση του χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Τους πλήρεις αλγορίθμους που εγγυούνται την εύρεση ανάθεσης μεταβλητών που να ικανοποιεί την συνάρτηση ή διαφορετικά την απόδειξη ότι η συνάρτηση είναι μη ικανοποιήσιμη. Επιπλέον, υπάρχουν και οι ημιτελείς αλγόριθμοι που δεν μπορούν να αποδείξουν αν μια συνάρτηση είναι μη ικανοποιήσιμη όπως οι αλγόριθμοι τοπικής αναζήτησης και οι γενετικοί αλγόριθμοι. Στην συνέχεια γίνεται η ανάπτυξη ενός γενετικού αλγορίθμου για την επίλυση προβλημάτων ικανοποιησιμότητας και σύγκριση μεταξύ των αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο σε τυχαίες περιπτώσεις του 3-SAT. Οι γενετικοί αλγόριθμοι αποτελούν μια καλή επιλογή για την επίλυση των τριών συνδυαστικών προβλημάτων που αναπτύχθηκαν στην εργασία. Η ικανότητα τους να εξερευνούν ένα μεγάλο μέρος του χώρου των λύσεων τους δίνει την δυνατότητα να βρίσκουν την βέλτιστη λύση ή καλές προσεγγίσεις τις βέλτιστης λύσης συχνά. Η ευελιξία των γενετικών αλγορίθμων τους δίνει την δυνατότητα να εφαρμοστούν σε πληθώρα προβλημάτων και τις παραλλαγές τους με ελάχιστες αλλαγές. Συμπερασματικά οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι ένα καλό εργαλείο γενικής χρήσεως για συνδυαστικά προβλήματα με εντυπωσιακή επίδοση