Θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων και το θεώρημα του Burnside
Loading...
Date
2026-07-30
Authors
Παπουτσή, Μαρία
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Κεντρικός σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της Θεωρίας Αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων. Ειδικότερα, θα δούμε την ισχυρή αλληλεπίδραση της Αφηρημένης Άλγεβρας με τη Γραμμική Άλγεβρα, η οποία κορυφώνεται με την εφαρμογή των χαρακτήρων στην απόδειξη του περίφημου Θεωρήματος του Burnside.
Για να μπορέσουμε να οικοδομήσουμε το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο, στο 1ο Κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια της αναπαράστασης ομάδας και των FG-προτύπων. Μελετάμε την αναγωγιμότητά τους μέσω του Θεωρήματος του Maschke και του Λήμματος του Schur, και εξάγουμε θεμελιώδη συμπεράσματα για τη δομή της άλγεβρας της ομάδας, συνδέοντας το πλήθος των ανάγωγων προτύπων με το πλήθος των κλάσεων συζυγίας.
Στο 2ο Κεφάλαιο, επικεντρωνόμαστε στη Θεωρία χαρακτήρων, η οποία αποτελεί το βασικό υπολογιστικό εργαλείο της εργασίας. Ορίζουμε τον χαρακτήρα μιας αναπαράστασης, αναλύουμε τις σχέσεις ορθογωνιότητας (γραμμών και στηλών) και κατασκευάζουμε τον πίνακα των χαρακτήρων μιας ομάδας. Επιπλέον, μελετάμε τους γενικευμένους και επαγόμενους χαρακτήρες, καταλήγοντας στο Νόμο Αντιστροφής του Frobenius.
Στην συνέχεια, στο 3ο Κεφάλαιο εφαρμόζουμε τη θεωρία αυτή για την επίλυση βαθιών, καθαρά ομαδοθεωρητικών προβλημάτων. Εισάγουμε και μελετάμε την έννοια των αλγεβρικών ακεραίων και, συνδυάζοντάς την με τα Θεωρήματα Sylow και τη γεωμετρία των χαρακτήρων, παρουσιάζουμε το Θεώρημα του Frobenius για τις ομώνυμες ομάδες. Τέλος, χρησιμοποιώντας το Λήμμα μηδενισμού, παρουσιάζουμε την πλήρη απόδειξη του Θεωρήματος του Burnside, το οποίο λέει ότι κάθε ομάδα τάξης p^a q^b είναι επιλύσιμη.
Description
Keywords
Θεωρία αναπαραστάσεων, Πεπερασμένες ομάδες, Θεώρημα Burnside, Θεωρία χαρακτήρων, FG-πρότυπα