Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/14013
Title: Υπεμβαπτίσεις Riemann
Other Titles: Riemannian submersions
Authors: Ντάβλας, Ανδρέας
Keywords: Υπεμβάπτιση Riemann
Νήματα
Κάθετα διανυσματικά πεδία
Οριζόντια διανυσματικά πεδία
Βασικά διανυσματικά πεδία
Keywords (translated): Riemannian submersion
Fibers
Vertical vector fields
Horizontal vector fields
Basic vector fields
Abstract: Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τις υπεμβαπτίσεις Riemann. Μια υπεμβάπτιση Riemann μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων Riemann είναι μια υπεμβάπτιση της οποίας το ορθογώνιο συμπλήρωμα του πυρήνα του διαφορικού της υπεμβάπτισης σε τυχαίο σημείο είναι ισομετρικό με την εικόνα του διαφορικού της υπεμβάπτισης σε εκείνο το σημείο. Η θεωρία τους αναπτύχθηκε από τους Hermann (1960), Nagano (1960), O'Neill (1966), Gray (1967) και έχει εφαρμογές στη διαφορική γεωμετρία, στη μηχανική και στη γενική θεωρία σχετικότητας. Αρχικά γίνεται ανφορά στον ορισμό μιας υπεμβάπτισης Riemann. Θα αναφερθούμε σε δύο τανυστικά πεδία που όρισε O' Neill και στις συναλλοίωτες παραγώγους τους. Επιπλέον θα αναφερθούμε στις θεμελιώδεις εξισώσεις μιας υπεμβάπτισης Riemann, οι οποίες προήλθαν από τον O' Neill και είναι γνωστές ως οι εξισώσεις του O' Neill. Αυτές οι εξισώσεις είναι χρήσιμες, διότι μας δίνουν τη δυνατότητα να συσχετίσουμε τις γεωμετρίες των πολλαπλοτήτων της υπεμβάπτισης. Οι συγκεκριμένες εξισώσεις περιέχουν στις εκφράσεις τους τα παραπάνω τανυστικά πεδία με τις συναλλοίωτες παραγώγους τους. Επίσης, θα αναφερθούμε στη συνοχή του Schouten και θα παρουσιάσουμε ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε μια ομαλή καμπύλη να είναι γεωδαισιακή σε μια υπεμβάπτιση Riemann. Τέλος, παραθέτουμε παραδείγματα υπεμβαπτίσεων Riemann στα οποία θα υπολογίσουμε τα τανυστικά πεδία που όρισε O' Neill και την καμπυλότητα τομής σε διδιάστατο υπόχωρο του ορθογώνιου συμπληρώματος του πυρήνα του διαφορικού της υπεμβάπτισης σε σημείο της πολλαπλότητας.
Abstract (translated): This master thesis deals with Riemannian submersions. A Riemannian submersion between two Riemannian manifolds is a submersion whose orthogonal complement of the kernel of the differential at each point is isometric to the image of the differential of the submersion at this point. Their theory was developed by Hermann (1960), Nagano (1960), O'Neill (1966), Gray (1967) and has applications in differential geometry, mechanics and general theory of Relativity. Initially, reference is made to the definition of a Riemann submersion. We will refer two tensor fields defined by O'Neill and their covariant derivatives. Furthermore we will mention the fundamental equations of a submersion which were derived from O'Neill and they are known as equations of O'Neill. These equations are useful because they allow us to relate the geometries of the manifolds of the submersion. These equations contain in their expressions the above tensor fields and their covariant derivatives. We will also refer to Schouten's connection and will present a sufficient and necessary condition for a smooth curve to be geodesic in a Riemannian submersion. Finally, we give examples of Riemannian submersions in which we will calculate the tensor fields defined by O 'Neill and the sectional curvature in a two-dimensional space of the orthogonal complement of the kernel of the differential of the submersion at the point of the manifold.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Διπλωματική.pdf613.12 kBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.