Τοπολογικά δυναμικά συστήματα
Loading...
Date
Authors
Ασημακόπουλος, Σωτήριος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Στην παρούσα εργασία θα γίνει μελέτη των τοπολογικών δυναμικών συστήματων. Τα τοπολογικά δυναμικά συστήματα είναι
ουσιαστικά δυναμικά συστήματα τα οποία μελετώνται από την σκοπιά της τοπολογίας. Εμάς αυτό που θα μας απασχολήσει
κυρίως είναι η συμπεριφορά αυτών των συστημάτων σε διακριτό χρόνο. Οι ιδιότητες του τελεστή και του χώρου στον οποίο
ορίζεται το σύστημα είναι καθοριστικές για την εξέλιξη του συστήματος. Αυτό που θα μας παραξενέψει είναι ότι ο τελεστής, ο
οποίος δρα στα στοιχεία του χώρου, δεν είναι απαραίτητα γραμμικός. Ωστόσο αυτό, όπως θα δούμε, δεν αποτελεί πρόβλημα για
να “προβλέψουμε” την εξέλιξη του συστήματος. Θεμελιώδεις έννοιες και ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος, όπως η έννοια
της τοπολογικής μεταβατικότητας, του χαοτικού συστήματος και των mixing και weakly mixing απεικονίσεων ορίζονται με
έναν φυσικό τρόπο και παρουσιάζονται με παραδείγματα. Το θεώρημα της μεταβατικότητας του Birkhoff έρχεται να μας
δώσει κάποιες ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το δυναμικό σύστημα το οποίο μελετάμε να είναι τοπολογικά μεταβατικό.
Επιπλέον δίνουμε ορισμένους χαρακτηρισμούς για τις weakly mixing απεικονίσεις, οι οποίες βρίσκουν εκατοντάδες εφαρμογές
στην Φυσική και όχι μόνο. Τέλος, αναδεικνύουμε την ομορφιά και την αξία της γεωμετρίας των fractals και αποδεικνύουμε
τις ιδιότητες ενός πολύ σημαντικού fractal συνόλου, του Mandelbrot Set.
Description
Keywords
Δυναμικά συστήματα, Τοπολογική μεταβατικότητα, Χαοτικά συστήματα