Μορφές ισοδυναμίας χώρων και αλγεβρών τελεστών
Loading...
Date
2023-09-26
Authors
Παπαπέτρος, Ευάγγελος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Ο στόχος αυτής της διατριβής είναι η παρουσίαση και μελέτη μορφών ισοδυναμίας μεταξύ χώρων και αλγεβρών τελεστών. Ασχολούμαστε με ισοδυναμίες τύπου Morita που αντικαθιστούν την έννοια του ισομορφισμού με μια ασθενέστερη αλλά πιο ευέλικτη έννοια. Αυτή μας επιτρέπει να ταυτίζουμε άλγεβρες με ισοδύναμες κατηγορίες αναπαραστάσεων γενικεύοντας το πλαίσιο και τις έννοιες που όρισε αρχικά ο Rieffel για C*-άλγεβρες και von Neumann άλγεβρες, οι Blecher, Muhly και Paulsen για μη-αυτοσυζυγείς άλγεβρες τελεστών και αργότερα ο Ελευθεράκης για δυϊκές (και μη) άλγεβρες τελεστών και για χώρους τελεστών.
Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής ορίζουμε τη Δ-Morita και τη σΔ-Morita ισοδυναμία για άλγεβρες τελεστών και χώρους τελεστών. Χαρακτηρίζουμε τα Δ-ζεύγη και τα σΔ-ζεύγη μέσω των κατηγοριών των αριστερών προτύπων τους και αποδεικνύουμε ότι σΔ-Morita ισοδύναμοι χώροι τελεστών είναι ευσταθώς ισόμορφοι και αντίστροφα. Στη συνέχεια μελετούμε μια ειδική κατηγορία προτύπων υπεράνω αλγεβρών τελεστών, τα rigged modules, που αποτελούν γενίκευση της έννοιας των Hilbert modules όπως αυτή αναπτύχθηκε από τους Rieffel και Paschke. Χαρακτηρίζουμε τα rigged modules υπεράνω μιας άλγεβρας τελεστών Α που είναι ορθογώνια συμπληρώματα στην C_{oo}(A) και χρησιμοποιούμε αυτή την κατηγορία προτύπων για να ορίσουμε ισοδυναμίες τύπου Morita μεταξύ rigged modules εξετάζοντας πότε αυτές επάγουν ευσταθείς ισομορφισμούς και μεταξύ των προτύπων και μεταξύ των αλγεβρών τελεστών όπου τα πρότυπα δρουν. Μελετούμε επίσης ισοδυναμίες τύπου Morita για w*-rigged modules υπό το πρίσμα του πότε αυτές επιφέρουν ευσταθή ισομορφισμό.
Στο δεύτερο μέρος της εργασίας μας, μελετούμε το ακόμα ανοιχτό πρόβλημα της ομοιότητας μορφισμών C*-αλγεβρών που εισήχθη από τον Kadison: Δοθείσης μιας μοναδιαίας C*-άλγεβρας A και ενός μοναδιαίου φραγμένου μορφισμού u: A -> B(H), όπου H είναι χώρος Hilbert, υπάρχει αντιστρέψιμος τελεστής S που ανήκει στον B(H) ώστε η απεικόνιση π(x)=S^{-1} u(x) S να ορίζει *-μορφισμό της A; Παρουσιάζουμε κάποια κριτήρια για το πότε το πρόβλημα αυτό έχει θετική απάντηση και αποδεικνύουμε ότι είναι ισοδύναμο με ένα άλλο ανοικτό πρόβλημα της Θεωρίας των C*-αλγεβρών: Κάθε υπερανακλαστική von Neumann άλγεβρα που δρα σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert είναι πλήρως υπερανακλαστική. Το αντίστροφο είναι αληθές. Επίσης, χρησιμοποιώντας την έννοια της υπερανακλαστικότητας των von Neumann αλγεβρών και αποδεικνύοντας σχετικά κριτήρια υπερανακλαστικότητας, δίνουμε νέα παραδείγματα von Neumann αλγεβρών που ικανοποιούν την εικασία της ομοιότητας.
Τα τρία από τα τέσσερα άρθρα, των οποίων τα αποτελέσματα παρουσιάζουμε στην εργασία αυτή, έχουν ήδη δημοσιευθεί στα διεθνή περιοδικά "Integral Equations and Operator Theory (IEOT)", "New York Journal of Mathematics (NYJM)" και "Advances in Operator Theory (AIOT)". Tο 4ο έχει δημοσιευθεί στο arxiv και έχει σταλεί σε διεθνές περιοδικό προς δημοσίευση.
Description
Keywords
Χώροι τελεστών, Άλγεβρες τελεστών, Morita ισοδυναμία, Ευσταθής ισομορφισμός