Θεωρητική εισαγωγή στην τοπολογική ανάλυση δεδομένων και την εμμένουσα ομολογία
Loading...
Date
2026-07-08
Authors
Θεοδωρακόπουλος, Ελευθέριος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την Τοπολογική Ανάλυση Δεδομένων με έμφαση στην εμμένουσα ομολογία ως εργαλείο εξαγωγής και ποσοτικοποίησης δομικής πληροφορίας από δεδομένα. Στόχος είναι να παρουσιαστεί ένα συνεκτικό θεωρητικό και πρακτικό πλαίσιο που ξεκινά από τις βασικές έννοιες των απλών συμπλεγμάτων και της ομολογίας και καταλήγει στην εμμένουσα ομολογία ως περιγραφή της γεωμετρικής και τοπολογικής δομής ενός συνόλου δεδομένων.Αρχικά εισάγονται τα βασικά μαθηματικά στοιχεία που απαιτούνται για τημοντελοποίηση δεδομένων ως μετρικών χώρων και για την ανάπτυξη της ομολογίας σε απλά συμπλέγματα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι κύριες κατασκευές συμπλεγμάτων και φιλτράσεων που χρησιμοποιούνται στην πράξη, όπως τα Vietoris–Rips, Čech και Alpha complexes, και εξηγείται πώς, μέσω της μεταβολής μιας παραμέτρου κλίμακας, προκύπτουν τα εμμένοντα τοπολογικά χαρακτηριστικά. Η εμμένουσα πληροφορία αποτυπώνεται με barcodes και persistence diagrams, ενώ συζητούνται και τρόποι σύγκρισης μεταξύ διαγραμμάτων μέσω κατάλληλων αποστάσεων, με στόχο τη δυνατότητα ποσοτικήςαξιολόγησης και σύγκρισης διαφορετικών συνόλων δεδομένων.Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στις υπολογιστικές πτυχές της μεθόδου, όπως η κλιμάκωση του υπολογισμού, οι αριθμητικές δυσκολίες και οι πρακτικές στρατηγικές μείωσης κόστους, καθώς και στη χρήση διαθέσιμων λογισμικών εργαλείων για την εφαρμογή των παραπάνω στην πράξη. Τέλος, αναδεικνύεται η χρησιμότητα της εμμένουσας ομολογίας σε εφαρμογές ανάλυσης δεδομένων, είτε ως μέτρο ομοιότητας μεταξύ δομών είτε ως πηγή χαρακτηριστικών που μπορούν να ενσωματωθούν σε ευρύτερες ροές εργασίας στατιστικής και μηχανικής μάθησης.
Description
Keywords
Εμμένουσα ομολογία