Ηλεκτρομαγνητική δραστηριότητα του ομογενούς σφαιρικού μοντέλου του ανθρώπινου εγκεφάλου
Loading...
Date
2026-10-07
Authors
Κόλλια, Κωνσταντίνα
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Η μαθηματική μοντελοποίηση και η ποσοτική ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων που εκδηλώνονται στον ανθρώπινο εγκέφαλο συνιστούν θεμελιώδη πυλώνα της σύγχρονης Βιοϊατρικής Μηχανικής και της Υπολογιστικής Νευροεπιστήμης. Η καταγραφή της εγκεφαλικής δραστηριότητας μέσω της Ηλεκτροεγκεφαλογραφίας (EEG) και της Μαγνητοεγκεφαλογραφίας (MEG) παρέχει κρίσιμες πληροφορίες υψηλής χρονικής ανάλυσης για τη διάγνωση νευρολογικών παθήσεων, όπως η επιληψία, την εκτίμηση εγκεφαλικών τραυμάτων και την ανάπτυξη διεπαφών εγκεφάλου–υπολογιστή (BCI). Η αξιόπιστη χωρική εντόπιση των ενεργών νευρωνικών εστιών μέσω του αντίστροφου προβλήματος (inverse problem)—το οποίο είναι εγγενώς κακώς τοποθετημένο (ill-posed) κατά Hadamard—εξαρτάται άμεσα από την ακριβή, μαθηματικά συνεπή και αποδοτική επίλυση του ευθέος προβλήματος (forward problem), δηλαδή τον προσδιορισμό των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων από δεδομένες πηγές. Η παρούσα διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στη θεωρητική θεμελίωση, τη μαθηματική διατύπωση και την πλήρη αναλυτική επίλυση του ευθέος προβλήματος EEG και MEG, δομημένη σε τρεις βασικούς άξονες: 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο και Επίλυση της Εξίσωσης Laplace σε Σφαιρικές Συντεταγμένες: Αρχικά, διατυπώνονται οι βασικοί διαφορικοί τελεστές (κλίση, απόκλιση, τελεστής La place) στο τρισδιάστατο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 𝑟,𝜃,𝜙. Παρουσιάζεται η αναλυτική επίλυση της ομογενούς εξίσωσης Laplace (𝛥𝑓 = 0) μέσω της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών. Για το αζιμουθιακό μέρος Φ(𝜙), η απαίτηση φυσικήςπεριοδικότητας οδηγεί σε αρμονικές συναρτήσεις ακεραίου δείκτη 𝑚. Για το πολικό μέρος Θ(𝜃), μέσω κατάλληλου μετασχηματισμού, προκύπτει η συσχετισμένη διαφορική εξίσωση Legendre. Μέσω της μεθόδου σειρών Frobenius, αποδεικνύεται ότι η απαίτηση για πεπερασμένες και φυσικά αποδεκτές λύσεις στους πόλους επιβάλλει τον τερματισμό της δυναμοσειράς, οδηγώντας στα συσχετισμένα πολυώνυμα Legendre πρώτου είδους P_l^m(cosθ) με ακέραιο δείκτη 𝑙 ≥ 𝑚. Το ακτινικό μέρος 𝑅(𝑟) επιλύεται ως διαφορικήεξίσωση τύπου Euler, δίνοντας γραμμικό συνδυασμό δυνάμεων 𝑟^𝑙 και 𝑟^(−(𝑙+1)) για το εσωτερικό και εξωτερικό πρόβλημα αντίστοιχα. Τέλος, μέσω του προσθετικούθεωρήματος και της εισαγωγής των ορθογώνιων σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεωνY_l^m(θ,φ), θεμελιώνεται η ανάπτυξη σε σειρά της θεμελιώδους λύσης του τελεστή La place.2. Εισαγωγικά Στοιχεία Ηλεκτροδυναμικής και Εξισώσεις Maxwell: Στη συνέχεια, αναπτύσσεται το φυσικό και θεωρητικό πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού.Ξεκινώντας από τον νόμο του Coulomb, την αρχή της επαλληλίας και τη μετάβαση σε συνεχείς κατανομές φορτίου, εξάγονται οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell σεολοκληρωτική και διαφορική μορφή: ο νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο και την ηλεκτρική μετατόπιση 𝑫 στην ύλη, ο νόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο (𝛻 ⋅ 𝑩 = 0) που υποδηλώνει την απουσία μαγνητικών μονοπόλων και εισάγει το διανυσματικόδυναμικό 𝑨, ο νόμος επαγωγής του Faraday (𝛻 × 𝑬 = −𝜕𝑩/𝜕𝑡) και ο νόμος Ampere Maxwell. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην αναγκαιότητα εισαγωγής του ρεύματοςμετατόπισης 𝜕𝑫/𝜕𝑡 για τη διασφάλιση της διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου (εξίσωση συνέχειας), καθώς και στη διατύπωση των συνοριακών συνθηκών ασυνέχειας ήσυνέχειας των πεδίων στις διεπιφάνειες διηλεκτρικών μέσων.3. Γεωμετρική Μοντελοποίηση και Αναλυτική Επίλυση του Σφαιρικού Μοντέλου: Στο κυρίως μέρος της εργασίας, τα παραπάνω εφαρμόζονται στη φυσιολογία τηςεγκεφαλικής δραστηριότητας. Η συγχρονισμένη συναπτική ενεργοποίηση τωνπυραμιδικών νευρώνων μοντελοποιείται μακροσκοπικά ως ισοδύναμο σημειακόρευματικό δίπολο έντασης 𝑸 στη θέση 𝐫0 εντός της κεφαλής. Λόγω των εξαιρετικά χαμηλών συχνοτήτων των ηλεκτροφυσιολογικών σημάτων (𝑓 < 1000 𝐻𝑧), τεκμηριώνεται η ισχύς της σχεδόν στάσιμης προσέγγισης (quasi-static approximation), όπου τα φαινόμενα επαγωγής και τα ρεύματα μετατόπισης είναι αμελητέα, καθιστώντας το ηλεκτρικό πεδίο αστρόβιλο (𝑬 = −𝛻𝑢). Ο εγκέφαλος προσεγγίζεται ως ομογενές, ισότροπο σφαιρικό μέσο ενός στρώματος (αγωγός όγκου) ακτίνας 𝑎 και αγωγιμότητας 𝜎, περιβαλλόμενο από μη αγώγιμο αέρα (𝜎 = 0). Η μαθηματική διατύπωση οδηγεί σε μη ομογενή εξίσωση Poisson εντός της σφαίρας και εξίσωση Laplace στον εξωτερικό χώρο, υπό ομογενείς συνοριακές συνθήκες μηδενικής εκροής ρεύματος στην επιφάνεια(συνθήκη Neumann). Μέσω της μεθόδου αφαίρεσης της ιδιομορφίας (singularity subtrac tion approach), το δυναμικό διαχωρίζεται στο πρωτεύον δυναμικό απείρου μέσου και σε έναν αρμονικό όρο διόρθωσης. Με χρήση αναπτύξεων σε σφαιρικές αρμονικές,υπολογίζονται αναλυτικά οι άγνωστοι συντελεστές και εξάγονται σε κλειστή μορφή το ηλεκτρικό δυναμικό και το επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο τόσο στο εσωτερικό όσο και στην επιφάνεια του κρανίου. Τέλος, αξιοποιώντας τις σφαιρικές συμμετρίες και το γεγονός ότι τα δευτερογενή ρεύματα όγκου δεν συνεισφέρουν στην ακτινική συνιστώσα τουμαγνητικού πεδίου, υπολογίζεται το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο καταλήγοντας στην κλειστή διανυσματική σχέση Sarvas.Η αναλυτική προσέγγιση που παρουσιάζεται εξασφαλίζει απόλυτη ακρίβεια χωρίς τα σφάλματα πλέγματος και τον υψηλό υπολογιστικό φόρτο των αριθμητικών μεθόδων (FEM, BEM), λειτουργώντας ως το απόλυτο μέτρο σύγκρισης (gold standard / benchmark) για την επικύρωση σύνθετων υπολογιστικών κωδίκων και αποτελώντας το θεμέλιο για την επέκταση σε ρεαλιστικά πολυστρωματικά μοντέλα της ανθρώπινης κεφαλής.
Description
Keywords
Ηλεκτροεγκεφαλογραφία, Μαγνητοεγκεφαλογραφία, Ομογενές σφαιρικό μοντέλο κεφαλής, Ευθύ πρόβλημα, Σφαιρικές αρμονικές, Ηλεκτρομαγνητικά πεδία