Ηλεκτρομαγνητική δραστηριότητα του ομογενούς σφαιρικού μοντέλου του ανθρώπινου εγκεφάλου
| datacite.contributor.RelatedPerson | Πανδής, Σπυρίδων | |
| datacite.contributor.RelatedPerson | Αρμάου, Αντώνης | |
| datacite.contributor.Supervisor | Βαφέας, Παναγιώτης | |
| dc.contributor.author | Κόλλια, Κωνσταντίνα | |
| dc.contributor.other | Kollia, Konstantina | |
| dc.date.accessioned | 2026-10-09T10:38:56Z | |
| dc.date.available | 2026-10-09T10:38:56Z | |
| dc.date.issued | 2026-10-07 | |
| dc.degree | graduateThesis | |
| dc.description.abstract | Η μαθηματική μοντελοποίηση και η ποσοτική ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων που εκδηλώνονται στον ανθρώπινο εγκέφαλο συνιστούν θεμελιώδη πυλώνα της σύγχρονης Βιοϊατρικής Μηχανικής και της Υπολογιστικής Νευροεπιστήμης. Η καταγραφή της εγκεφαλικής δραστηριότητας μέσω της Ηλεκτροεγκεφαλογραφίας (EEG) και της Μαγνητοεγκεφαλογραφίας (MEG) παρέχει κρίσιμες πληροφορίες υψηλής χρονικής ανάλυσης για τη διάγνωση νευρολογικών παθήσεων, όπως η επιληψία, την εκτίμηση εγκεφαλικών τραυμάτων και την ανάπτυξη διεπαφών εγκεφάλου–υπολογιστή (BCI). Η αξιόπιστη χωρική εντόπιση των ενεργών νευρωνικών εστιών μέσω του αντίστροφου προβλήματος (inverse problem)—το οποίο είναι εγγενώς κακώς τοποθετημένο (ill-posed) κατά Hadamard—εξαρτάται άμεσα από την ακριβή, μαθηματικά συνεπή και αποδοτική επίλυση του ευθέος προβλήματος (forward problem), δηλαδή τον προσδιορισμό των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων από δεδομένες πηγές. Η παρούσα διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στη θεωρητική θεμελίωση, τη μαθηματική διατύπωση και την πλήρη αναλυτική επίλυση του ευθέος προβλήματος EEG και MEG, δομημένη σε τρεις βασικούς άξονες: 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο και Επίλυση της Εξίσωσης Laplace σε Σφαιρικές Συντεταγμένες: Αρχικά, διατυπώνονται οι βασικοί διαφορικοί τελεστές (κλίση, απόκλιση, τελεστής La place) στο τρισδιάστατο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 𝑟,𝜃,𝜙. Παρουσιάζεται η αναλυτική επίλυση της ομογενούς εξίσωσης Laplace (𝛥𝑓 = 0) μέσω της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών. Για το αζιμουθιακό μέρος Φ(𝜙), η απαίτηση φυσικήςπεριοδικότητας οδηγεί σε αρμονικές συναρτήσεις ακεραίου δείκτη 𝑚. Για το πολικό μέρος Θ(𝜃), μέσω κατάλληλου μετασχηματισμού, προκύπτει η συσχετισμένη διαφορική εξίσωση Legendre. Μέσω της μεθόδου σειρών Frobenius, αποδεικνύεται ότι η απαίτηση για πεπερασμένες και φυσικά αποδεκτές λύσεις στους πόλους επιβάλλει τον τερματισμό της δυναμοσειράς, οδηγώντας στα συσχετισμένα πολυώνυμα Legendre πρώτου είδους P_l^m(cosθ) με ακέραιο δείκτη 𝑙 ≥ 𝑚. Το ακτινικό μέρος 𝑅(𝑟) επιλύεται ως διαφορικήεξίσωση τύπου Euler, δίνοντας γραμμικό συνδυασμό δυνάμεων 𝑟^𝑙 και 𝑟^(−(𝑙+1)) για το εσωτερικό και εξωτερικό πρόβλημα αντίστοιχα. Τέλος, μέσω του προσθετικούθεωρήματος και της εισαγωγής των ορθογώνιων σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεωνY_l^m(θ,φ), θεμελιώνεται η ανάπτυξη σε σειρά της θεμελιώδους λύσης του τελεστή La place.2. Εισαγωγικά Στοιχεία Ηλεκτροδυναμικής και Εξισώσεις Maxwell: Στη συνέχεια, αναπτύσσεται το φυσικό και θεωρητικό πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού.Ξεκινώντας από τον νόμο του Coulomb, την αρχή της επαλληλίας και τη μετάβαση σε συνεχείς κατανομές φορτίου, εξάγονται οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell σεολοκληρωτική και διαφορική μορφή: ο νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο και την ηλεκτρική μετατόπιση 𝑫 στην ύλη, ο νόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο (𝛻 ⋅ 𝑩 = 0) που υποδηλώνει την απουσία μαγνητικών μονοπόλων και εισάγει το διανυσματικόδυναμικό 𝑨, ο νόμος επαγωγής του Faraday (𝛻 × 𝑬 = −𝜕𝑩/𝜕𝑡) και ο νόμος Ampere Maxwell. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην αναγκαιότητα εισαγωγής του ρεύματοςμετατόπισης 𝜕𝑫/𝜕𝑡 για τη διασφάλιση της διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου (εξίσωση συνέχειας), καθώς και στη διατύπωση των συνοριακών συνθηκών ασυνέχειας ήσυνέχειας των πεδίων στις διεπιφάνειες διηλεκτρικών μέσων.3. Γεωμετρική Μοντελοποίηση και Αναλυτική Επίλυση του Σφαιρικού Μοντέλου: Στο κυρίως μέρος της εργασίας, τα παραπάνω εφαρμόζονται στη φυσιολογία τηςεγκεφαλικής δραστηριότητας. Η συγχρονισμένη συναπτική ενεργοποίηση τωνπυραμιδικών νευρώνων μοντελοποιείται μακροσκοπικά ως ισοδύναμο σημειακόρευματικό δίπολο έντασης 𝑸 στη θέση 𝐫0 εντός της κεφαλής. Λόγω των εξαιρετικά χαμηλών συχνοτήτων των ηλεκτροφυσιολογικών σημάτων (𝑓 < 1000 𝐻𝑧), τεκμηριώνεται η ισχύς της σχεδόν στάσιμης προσέγγισης (quasi-static approximation), όπου τα φαινόμενα επαγωγής και τα ρεύματα μετατόπισης είναι αμελητέα, καθιστώντας το ηλεκτρικό πεδίο αστρόβιλο (𝑬 = −𝛻𝑢). Ο εγκέφαλος προσεγγίζεται ως ομογενές, ισότροπο σφαιρικό μέσο ενός στρώματος (αγωγός όγκου) ακτίνας 𝑎 και αγωγιμότητας 𝜎, περιβαλλόμενο από μη αγώγιμο αέρα (𝜎 = 0). Η μαθηματική διατύπωση οδηγεί σε μη ομογενή εξίσωση Poisson εντός της σφαίρας και εξίσωση Laplace στον εξωτερικό χώρο, υπό ομογενείς συνοριακές συνθήκες μηδενικής εκροής ρεύματος στην επιφάνεια(συνθήκη Neumann). Μέσω της μεθόδου αφαίρεσης της ιδιομορφίας (singularity subtrac tion approach), το δυναμικό διαχωρίζεται στο πρωτεύον δυναμικό απείρου μέσου και σε έναν αρμονικό όρο διόρθωσης. Με χρήση αναπτύξεων σε σφαιρικές αρμονικές,υπολογίζονται αναλυτικά οι άγνωστοι συντελεστές και εξάγονται σε κλειστή μορφή το ηλεκτρικό δυναμικό και το επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο τόσο στο εσωτερικό όσο και στην επιφάνεια του κρανίου. Τέλος, αξιοποιώντας τις σφαιρικές συμμετρίες και το γεγονός ότι τα δευτερογενή ρεύματα όγκου δεν συνεισφέρουν στην ακτινική συνιστώσα τουμαγνητικού πεδίου, υπολογίζεται το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο καταλήγοντας στην κλειστή διανυσματική σχέση Sarvas.Η αναλυτική προσέγγιση που παρουσιάζεται εξασφαλίζει απόλυτη ακρίβεια χωρίς τα σφάλματα πλέγματος και τον υψηλό υπολογιστικό φόρτο των αριθμητικών μεθόδων (FEM, BEM), λειτουργώντας ως το απόλυτο μέτρο σύγκρισης (gold standard / benchmark) για την επικύρωση σύνθετων υπολογιστικών κωδίκων και αποτελώντας το θεμέλιο για την επέκταση σε ρεαλιστικά πολυστρωματικά μοντέλα της ανθρώπινης κεφαλής. | |
| dc.description.translatedabstract | The mathematical modeling and quantitative characterization of electromagnetic phenomena arising from neural activity in the human brain constitute a fundamental cornerstone of modern Biomedical Engineering and Computational Neuroscience. Non-invasive monitoring via Electroencephalography (EEG) and Magnetoencephalography (MEG) provides high-temporal resolution data essential for diagnosing neurological pathologies (such as epilepsy), monitoring traumatic brain injuries, and engineering Brain–Computer Interfaces (BCI). The reliable spatial re construction of underlying neural generators through the inverse problem—an intrinsically ill posed problem in the sense of Hadamard—strictly requires a rigorous, mathematically robust, and computationally efficient solution to the forward problem. This diploma thesis investigates the theoretical foundations, mathematical formulation, and exact analytical solution of the forward EEG/MEG problem, structured around three major thematic pillars:1. Mathematical Foundations and Solution of Laplace's Equation in Spherical Coordinates: First, the fundamental vector differential operators (gradient, divergence, Laplacian) are derived in spherical coordinates 𝑟, 𝜃, 𝜙. The analytical solution of Laplace's equation (𝛥𝑓 = 0) is performed via the method of separation of variables. Imposing azimuthal periodicity on Φ(𝜙) yields harmonic functions of integer order 𝑚. For the polar part Θ(𝜃), a trans formation to the variable 𝑥 = cos𝜃 yields the associated Legendre differential equation.Applying the Frobenius power-series method reveals that regular, non-divergent solutions at the poles require truncating the series, resulting in associated Legendre polynomials of the first kind P_l^m(cosθ) with integer degree 𝑙 ≥ 𝑚. The radial equation is solved as an Eu ler-type differential equation, yielding power solutions 𝑟^𝑙 and 𝑟^(−(𝑙+1)) for interior and ex terior domains, respectively. Finally, utilizing the addition theorem and orthogonal spheri cal harmonics Y_l^m(θ,φ), the series expansion of the free-space Green’s function (Coulomb potential) is rigorously established.2. Fundamentals of Electrodynamics and Maxwell’s Equations: Next, the classical electro dynamic framework is developed. Originating from Coulomb’s law, the superposition prin ciple, and continuum charge distributions, Maxwell's equations are formulated in both in tegral and differential representations: Gauss’s law for electric fields and electric dis placement 𝐷 in matter, Gauss’s law for magnetism (𝛻 ⋅ 𝑩 = 0) establishing the magnetic vector potential 𝐴, Faraday’s law of induction (𝛻 × 𝑬 = −𝜕𝑩/𝜕𝑡), and the Ampere Maxwell law. Emphasis is placed on the displacement current term 𝜕𝑫/𝜕𝑡 required to maintain charge conservation (continuity equation), as well as on electromagnetic bound ary conditions across dielectric interfaces.3. Geometric Formulation and Analytical Solution of the Spherical Head Model: In the core part of the thesis, this theoretical machinery is applied to neuroelectrodynamics. The syn chronized postsynaptic activity of cortical pyramidal neurons is modeled macroscopically as an equivalent current dipole 𝑸 at source position 𝐫0. Given the low-frequency nature of electrophysiological processes (𝑓 < 1000 𝐻𝑧), the quasi-static regime of Maxwell's equa tions is justified, rendering electromagnetic induction and displacement currents negligi ble and the electric field curl-free (𝑬 = −𝛻𝑢). The human head is approximated as a sin gle-shell, isotropic, and homogeneous spherical volume conductor of radius 𝑎 and conduc tivity 𝜎, bounded by insulating exterior air (𝜎 = 0). The mathematical model yields an in homogeneous Poisson equation within the conducting sphere and Laplace's equation ex ternally, subject to homogeneous Neumann boundary conditions (zero normal current across the boundary). Employing the singularity subtraction approach, the electric poten tial is partitioned into an unbounded singular dipole potential and a regular harmonic cor rection field. Utilizing spherical harmonic expansions, closed-form expressions are derived for both the electric potential and electric field in the domain and on the skull surface. Fur thermore, by exploiting spherical symmetry—where secondary volume currents do notcontribute to the radial magnetic field—the external magnetic field is derived in closed vector form via the Sarvas formula.The closed-form analytical methodology developed in this work guarantees absolute mathematical precision free from spatial discretization errors and high computational costs associated with nu merical schemes (such as FEM and BEM). Consequently, it serves as a canonical benchmark (gold standard) for validating computational forward solvers, while laying the theoretical groundwork for extensions to multilayer spherical models. | |
| dc.identifier.uri | https://hdl.handle.net/10889/32927 | |
| dc.language.iso | el | |
| dc.rights | Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Greece | en |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/gr/ | |
| dc.subject | Ηλεκτροεγκεφαλογραφία | |
| dc.subject | Μαγνητοεγκεφαλογραφία | |
| dc.subject | Ομογενές σφαιρικό μοντέλο κεφαλής | |
| dc.subject | Ευθύ πρόβλημα | |
| dc.subject | Σφαιρικές αρμονικές | |
| dc.subject | Ηλεκτρομαγνητικά πεδία | |
| dc.subject.alternative | Electroencephalography | |
| dc.subject.alternative | Magnetoencephalography | |
| dc.subject.alternative | Homogeneous spherical head model | |
| dc.subject.alternative | Forward problem | |
| dc.subject.alternative | Spherical harmonics | |
| dc.subject.alternative | Electromagnetic fields | |
| dc.title | Ηλεκτρομαγνητική δραστηριότητα του ομογενούς σφαιρικού μοντέλου του ανθρώπινου εγκεφάλου | |
| dc.title.alternative | Electromagnetic activity of the homogeneous spherical model of the human brain |