Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie
Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie
Abstract
Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) καλείται πολλαπλότητα Einstein εάν ο τανυστής Ricci \Ric_g ης μετρικής g ικανοποιεί την εξήσωση \Ric_g = \lambda g, για κάπιο \lambda\in\mathbb{R}. Στους ομογενείς χώρους Riemann (M=G/H, g), όπου G είναι μια ομάδα Lie και Η μια κλειστή υποομάδα της, η μετρική g καλείται G-αναλλοίωτη εάν για κάθε \alpha\inG οι αριστερές μεταφορές \tau_{\alpha} : G/H \to G/H, p\mapsto\alphap είναι ισομετρίες και καθορίζεται από \Ad(H)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο T_{o}(G/H). Τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται από την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου, η οποία είναι είτε μη αναγώγιμη (όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές είναι Einstein) είτε αναγώγιμη. Η δεύτερη περίπτωση γίνεται πιο πολύπλοκη εάν οι υποαναπαραστάσεις της, είναι μεταξύ τους ισοδύναμες, διότι η πλήρης περιγραφή αλλά και ο χειρισμός τέτοιων γινομένων είναι ερκετά δύσκολος. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν και οι πραγματικές, μιγαδικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel V_k\mathbb{R}^{n} = SO(n)/SO(n-k), V_k\mathbb{C}^{n} = SU(n)/SU(n-k), V_{k}\mathbb{H}^{n} = Sp(n)/Sp(n-k). Στην παρούσα διατριβή μελετάμε μετρικές Einstein στις πραγματικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel G/H, οι οποίες ανήκουν σε ένα υποσύνολο των G-αναλλοίωτων μετρικών. Ειδικότερα η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εξής: Θεωρούμε μια κλειστή υποομάδα K της G με την ιδιότητα H\subset K\subset N_G(H). Τότε η πολλαπλότητα Stiefel G/H είναι ο ολικός χώρος της νηματοποίησης K/H \to G/H \to G/K. Θεωρούμε τις περιπτώσεις όπου η βάση G/K είναι είτε ένας γενικευμένος χώρος Wallach, είτε μια γενικευμένη πολλαπλότητα σημαιών με δύο ισοτροπικούς προσθεταίους. Το δεύτερο αντικείμενο μελέτης της διατριβής, είναι η εύρεση αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) και Sp(n). Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομάδες Lie G ως ομογενείς χώρους μέσω της αμφιδιαφόρισης G\cong (G\times K)/Δ(Κ), όπου Κ μια κλειστή υποομάδα της G και να μελετήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα G, οι οποίες καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο του ομογενούς χώρου (G\times K)/Δ(Κ). Για αυτά τα αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα αποδεικνύουμε κατάλληλες συνθήκες για τις παραμέτρους τους, ώστε οι αντίστοιχες αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην G να είναι φυσικά αναγωγικές, σύμφωνα με τη θεωρία των J. D'Atri και W. Ziller. Τέλος εκμεταλλευόμενοι καταλλήλως αυτές τις συνθήκες αποδεικνύουμε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις ομάδες Lie G=SO(n), Sp(n) οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές.
Description
Keywords
Ομογενείς χώροι, Πολλαπλότητες Stiefel, Συμπαγείς ομάδες Lie, Μετρικές Einstein, Φυσικά αναγωγικές μετρικές Einstein