Η θεωρία Kolmogorov-Arnold-Moser και η εφαρμογή της στην μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger
Loading...
Date
Authors
Καμηλάρης, Βασίλειος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Το αντικείμενο μελέτης της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι οι τεχνικές της θεωρίας Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) και ο τρόπος που εφαρμόζονται αυτές για την εύρεση ημιπεριοδικών λύσεων για την μη γραμμική εξίσωση Schrödinger.
Στο πρώτο κεφάλαιο της διπλωματικής εργασίας γίνεται μία εισαγωγή στα Χαμιλτονιανά συστήματα σε πεπερασμένες διαστάσεις. Ξεκινάει με μία ιστορική αναδρομή της θεωρίας KAM και, στην συνέχεια, εισάγονται βασικές έννοιες των Χαμιλτονιανών συστημάτων, όπως η δομή Poisson, τα Χαμιλτονιανά ολοκληρώσιμα συστήματα κατά Liouville και ο κανονικός μετασχηματισμός. Στο τέλος του κεφαλαίου διατυπώνονται κάποια από τα πιο γνωστά και χρήσιμα
θεωρήματα πάνω στα διαταραγμένα Χαμιλτονιανά συστήματα.
Στο δεύτερο κεφάλαιο διατυπώνεται κι αποδεικνύεται μία παραλλαγή του κλασσικού θεωρήματος ΚΑΜ. Αναλύονται τα διάφορα βήματα της απόδειξης, τα οποία είναι κοινά για οποιοδήποτε θεώρημα τύπου ΚΑΜ, και επισημαίνονται οι διάφορες τεχνικές της θεωρίας.
Στο τρίτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε την θεωρία ΚΑΜ στις μερικές διαφορικές εξισώσεις και, πιο συγκεκριμένα, μια μορφή της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS), η οποία περιγράφει μαθηματικά το συμπύκνωμα Bose-Einstein παγιδευμένο σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή.
Στην συνέχεια, δείχνεται με ποιον τρόπο η Χαμιλτονιανή δομή της NLS με κατάλληλο εξωτερικό δυναμικό οδηγεί σε ένα Χαμιλτονιανό σύστημα άπειρων διαστάσεων. Για το τελευταίο σύστημα διατυπώνεται ένα θεώρημα ΚΑΜ και αναλύονται τα βήματα της απόδειξής του, διατυπώνονται χωρίς απόδειξη τα χρησιμότερα λήμματα που οδηγούν στην απόδειξη, ενώ παράλληλα
επισημαίνονται οι διαφορές και οι ομοιότητες με τα κλασικά θεωρήματα ΚΑΜ. Τέλος, χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα αποτελέσματα αποδεικνύουμε ένα θεώρημα ύπαρξης ημιπεριοδικών λύσεων για την μη γραμμική εξίσωση Schrödinger για το δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή.
Description
Keywords
Θεωρία KAM, Mη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS), Απειροδιάστατα χαμιλτονιανά συστήματα, Κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής