Σύγκριση αλγορίθμων αριθμητικής βελτιστοποίησης και επίλυσης γραμμικών και μη-γραμμικών συστημάτων : χρήση του Matlab
Loading...
Date
Authors
Ζαφειράκης, Γεώργιος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Το πρόβλημα της επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών ή μη γραμμικών εξισώσεων, έχει απασχολήσει έντονα την επιστημονική κοινότητα. Αυτό συμβαίνει γιατί πολλά από τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου καταλήγουν στην επίλυση ενός τέτοιου συστήματος. Τέτοια προβλήματα συναντώνται σε διάφορους τομείς όπως στην μηχανολογία, στην ιατρική και στην οικονομία.
Ένα εξίσου σημαντικό πρόβλημα με τεράστιο αντίκτυπο σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως στη χημεία και στη φυσική, είναι αυτό της βελτιστοποίησης. Στη βελτιστοποίηση αναζητούμε τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος. Στα μαθηματικά βελτιστοποίηση εννοούμε την εύρεση τοπικών ή/και ολικών ελαχίστων μιας συνάρτησης, της λεγόμενης αντικειμενικής συνάρτησης.
Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζονται οι βασικότερες μέθοδοι για τα παραπάνω προβλήματα δίνοντας και αριθμητικά παραδείγματα σε καθεμία από αυτές. Από το πρόβλημα των συστημάτων, παρουσιάζουμε τις μεθόδους Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Newton, Broyden και από τη βελτιστοποίηση τη Steepest Descent και την οικογένεια των μεθόδων Conjugate Gradient.\
Υλοποιήσαμε τις παραπάνω μεθόδους στο Matlab (Matrix Laboratory), ένα λογισμικό ιδιαίτερα διαδεδομένο που χρησιμοποιείται για εκπαιδευτικούς αλλά και για ερευνητικούς σκοπούς. Επιλέξαμε κατάλληλα προβλήματα και εκτελέσαμε τις παραπάνω μεθόδους δίνοντας και συγκριτικούς πίνακες, όπου καταγράψαμε το πλήθος των επαναλήψεων, το πλήθος των συναρτησιακών υπολογισμών και τον cpu χρόνο που απαιτεί η καθεμία από αυτές. Τέλος, δώσαμε ένα συνοπτικό εκπαιδευτικό πακέτο το οποίο εστιάζει στην καταγραφή εντολών του Matlab με σκοπό να εξοικειωθούν με το λογισμικό αυτό κυρίως οι αρχάριοι χρήστες.
Description
Keywords
Αριθμητική βελτιστοποίηση, Γραμμικά συστήματα εξισώσεων, Μη-γραμμικά συστήματα εξισώσεων